雷神之锤III》里求平方根倒数的函数（快速平方根(倒数)算法）

在3D图形编程中，经常要求平方根或平方根的倒数，例如：求向量的长度或将向量归一化。C数学函数库中的sqrt具有理想的精度，但对于3D游戏程式来说速度太慢。我们希望能够在保证足够的精度的同时，进一步提高速度。

Carmack在QUAKE3中使用了下面的算法，它第一次在公众场合出现的时候，几乎震住了所有的人。据说该算法其实并不是Carmack发明的，它真正的作者是Nvidia的Gary Tarolli（未经证实）。

// 
// 计算参数x的平方根的倒数 
// 
float InvSqrt (float x) 
{ 
float xhalf = 0.5f*x; 
int i = *(int*)&x; 
i = 0x5f3759df - (i >> 1); // 计算第一个近似根 
x = *(float*)&i; 
x = x*(1.5f - xhalf*x*x); // 牛顿迭代法 
return x; 
} 

该算法的本质其实就是牛顿迭代法（Newton-Raphson Method，简称NR），而NR的基础则是泰勒级数（Taylor Series）。NR是一种求方程的近似根的方法。首先要估计一个与方程的根比较靠近的数值，然后根据公式推算下一个更加近似的数值，不断重复直到可以获得满意的精度。其公式如下：

函数：y=f(x)

其一阶导数为：y'=f'(x)

则方程：f(x)=0 的第n+1个近似根为

x[n+1] = x[n] - f(x[n]) / f'(x[n])
NR最关键的地方在于估计第一个近似根。如果该近似根与真根足够靠近的话，那么只需要少数几次迭代，就可以得到满意的解。

现在回过头来看看如何利用牛顿法来解决我们的问题。求平方根的倒数，实际就是求方程1/(x^2)-a=0的解。将该方程按牛顿迭代法的公式展开为：

x[n+1]=1/2*x[n]*(3-a*x[n]*x[n])
将1/2放到括号里面，就得到了上面那个函数的倒数第二行。

接着，我们要设法估计第一个近似根。这也是上面的函数最神奇的地方。它通过某种方法算出了一个与真根非常接近的近似根，因此它只需要使用一次迭代过程就获得了较满意的解。它是怎样做到的呢？所有的奥妙就在于这一行：

i = 0x5f3759df - (i >> 1); // 计算第一个近似根
超级莫名其妙的语句，不是吗？但仔细想一下的话，还是可以理解的。我们知道，IEEE标准下，float类型的数据在32位系统上是这样表示的（大体来说就是这样，但省略了很多细节，有兴趣可以GOOGLE）。

bits：31 30 ... 0
31：符号位
30-23：共8位，保存指数（E）
22-0：共23位，保存尾数（M）
所以，32位的浮点数用十进制实数表示就是：M*2^E。开根然后倒数就是：M^(-1/2)*2^(-E/2)。现在就十分清晰了。语句i>>1其工作就是将指数除以2，实现2^(E/2)的部分。而前面用一个常数减去它，目的就是得到M^(1/2)同时反转所有指数的符号。

至于那个0x5f3759df，呃，我只能说，的确是一个超级的Magic Number。

那个Magic Number是可以推导出来的，但我并不打算在这里讨论，因为实在太繁琐了。简单来说，其原理如下：因为IEEE的浮点数中，尾数M省略了最前面的1，所以实际的尾数是1+M。如果你在大学上数学课没有打瞌睡的话，那么当你看到(1+M)^(-1/2)这样的形式时，应该会马上联想的到它的泰勒级数展开，而该展开式的第一项就是常数。下面给出简单的推导过程：

对于实数R>0，假设其在IEEE的浮点表示中，
指数为E，尾数为M，则：

R^(-1/2)
= (1+M)^(-1/2) * 2^(-E/2)

将(1+M)^(-1/2)按泰勒级数展开，取第一项，得：

原式
= (1-M/2) * 2^(-E/2)
= 2^(-E/2) - (M/2) * 2^(-E/2)

如果不考虑指数的符号的话，
(M/2)*2^(E/2)正是(R>>1)，
而在IEEE表示中，指数的符号只需简单地加上一个偏移即可，
而式子的前半部分刚好是个常数，所以原式可以转化为：

原式 = C - (M/2)*2^(E/2) = C - (R>>1)，其中C为常数

所以只需要解方程：
R^(-1/2)
= (1+M)^(-1/2) * 2^(-E/2)
= C - (R>>1)
求出令到相对误差最小的C值就可以了

上面的推导过程只是我个人的理解，并未得到证实。而Chris Lomont则在他的论文中详细讨论了最后那个方程的解法，并尝试在实际的机器上寻找最佳的常数C。

所以，所谓的Magic Number，并不是从N元宇宙的某个星系由于时空扭曲而掉到地球上的，而是几百年前就有的数学理论。只要熟悉NR和泰勒级数，你我同样有能力作出类似的优化。

在GameDev.net上有人做过测试，该函数的相对误差约为0.177585%，速度比C标准库的sqrt提高超过20%。如果增加一次迭代过程，相对误差可以降低到e-004的级数，但速度也会降到和sqrt差不多。据说在DOOM3中，Carmack通过查找表进一步优化了该算法，精度近乎完美，而且速度也比原版提高了一截。

值得注意的是，在Chris Lomont的演算中，理论上最优秀的常数（精度最高）是0x5f37642f，并且在实际测试中，如果只使用一次迭代的话，其效果也是最好的。但奇怪的是，经过两次NR后，在该常数下解的精度将降低得非常厉害（天知道是怎么回事！）。经过实际的测试，Chris Lomont认为，最优秀的常数是0x5f375a86。如果换成64位的double版本的话，算法还是一样的，而最优常数则为0x5fe6ec85e7de30da（又一个令人冒汗的Magic Number - -b）。

这个算法依赖于浮点数的内部表示和字节顺序，所以是不具移植性的。如果放到Mac上跑就会挂掉。如果想具备可移植性，还是乖乖用sqrt好了。但算法思想是通用的。大家可以尝试推算一下相应的平方根算法。

下面给出Carmack在QUAKE3中使用的平方根算法。Carmack已经将QUAKE3的所有源代码捐给开源了，所以大家可以放心使用，不用担心会收到律师信。

// 
// Carmack在QUAKE3中使用的计算平方根的函数 
// 
float CarmSqrt(float x){ 
union{ 
int intPart; 
float floatPart; 
} convertor; 
union{ 
int intPart; 
float floatPart; 
} convertor2; 
convertor.floatPart = x; 
convertor2.floatPart = x; 
convertor.intPart = 0x1FBCF800 + (convertor.intPart >> 1); 
convertor2.intPart = 0x5f3759df - (convertor2.intPart >> 1); 
return 0.5f*(convertor.floatPart + (x * convertor2.floatPart)); 
} 

另一个基于同样算法的更高速度的sqrt实现如下。其只是简单地将指数除以2，并没有考虑尾数的方根。要看懂该代码的话必须知道，在IEEE浮点数的格式中，E是由实际的指数加127得到的。例如，如果实数是0.1234*2^10，在浮点表示中，E（第23-30位）的值其实为10+127=137。所以下面的代码中，要处理127偏移，这就是常数0x3f800000的作用。我没实际测试过该函数，所以对其优劣无从评论，但估计其精度应该会降低很多。

float Faster_Sqrtf(float f) 
{ 
float result; 
_asm 
{ 
mov eax, f 
sub eax, 0x3f800000 
sar eax, 1 
add eax, 0x3f800000 
mov result, eax 
} 
return result; 
} 

除了基于NR的方法外，其他常见的快速算法还有多项式逼近。下面的函数取自《3D游戏编程大师技巧》，它使用一个多项式来近似替代原来的长度方程，但我搞不清楚作者使用的公式是怎么推导出来的（如果你知道的话请告诉我，谢谢）。

// 
// 这个函数计算从(0,0)到(x,y)的距离，相对误差为3.5% 
// 
int FastDistance2D(int x, int y) 
{ 
x = abs(x); 
y = abs(y); 
int mn = MIN(x,y); 
return(x+y-(mn>>1)-(mn>>2)+(mn>>4)); 
} 
// 
// 该函数计算(0,0,0)到(x,y,z)的距离，相对误差为8% 
// 
float FastDistance3D(float fx, float fy, float fz) 
{ 
int temp; 
int x,y,z; 
// 确保所有的值为正 
x = int(fabs(fx) * 1024); 
y = int(fabs(fy) * 1024); 
z = int(fabs(fz) * 1024); 
// 排序 
if (y < x) SWAP(x,y,temp) 
if (z < y) SWAP(y,z,temp) 
if (y < x) SWAP(x,y,temp) 
int dist = (z + 11 * (y >> 5) + (x >> 2) ); 
return((float)(dist >> 10)); 
} 

还有一种方法称为Distance Estimates（距离评估？），如下图所示：




红线所描绘的正八边形上的点为：

octagon(x,y) = min((1/√2) * (|x|+|y|), max(|x|,|y|))

求出向量v1和v2的长度，则： √(x^2+y^2) = (|v1|+|v2|)/2 * octagon(x,y)

到目前为止我们都在讨论浮点数的方根算法，接下来轮到整数的方根算法。也许有人认为对整型数据求方根无任何意义，因为会得到类似99^(1/2)=9的结果。通常情况下确实是这样，但当我们使用定点数的时候（定点数仍然被应用在很多系统上面，例如任天堂的GBA之类的手持设备），整数的方根算法就显得非常重要。对整数开平方的算法如下。我并不打算在这讨论它（事实是我也没有仔细考究，因为在短期内都不会用到- -b），但你可以在文末James Ulery的论文中找到非常详细的推导过程。

// 
// 为了阅读的需要，我在下面的宏定义中添加了换行符 
// 
#define step(shift) 
if((0x40000000l >> shift) + sqrtVal <= val) 
{ 
val -= (0x40000000l >> shift) + sqrtVal; 
sqrtVal = (sqrtVal >> 1) | (0x40000000l >> shift); 
} 
else 
{ 
sqrtVal = sqrtVal >> 1; 
} 
// 
// 计算32位整数的平方根 
// 
int32 xxgluSqrtFx(int32 val) 
{ 
// Note: This fast square root function 
// only works with an even Q_FACTOR 
int32 sqrtVal = 0; 
step(0); 
step(2); 
step(4); 
step(6); 
step(8); 
step(10); 
step(12); 
step(14); 
step(16); 
step(18); 
step(20); 
step(22); 
step(24); 
step(26); 
step(28); 
step(30); 
if(sqrtVal < val) 
{ 
++sqrtVal; 
} 
sqrtVal <<= (Q_FACTOR)/2; 
return(sqrtVal); 
} 

关于sqrt的话题早在2003年便已在 GameDev.net上得到了广泛的讨论（可见我实在非常火星了，当然不排除还有其他尚在冥王星的人，嘿嘿）。而尝试探究该话题则完全是出于本人的兴趣和好奇心（换句话说就是无知）。其实现在随着FPU的提升和对向量运算的硬件支持，大部分系统上都提供了快速的sqrt实现。如果是处理大批量的向量的话，据说最快的方法是使用SIMD（据说而已，我压根不懂），可同步计算4个向量。


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卡马克算法牛X的地方就是他选了一个常数作为起始值。而这个起始值让他只用一次迭代就够了。

从这里看来的。QuakeIII自然就是传奇高手卡马克的杰作之一了。在有的CPU上，这个函数比普通的(float)(1.0/sqrt(x)快4倍！快的原因之一是用了一个神秘常数，0x5f3759df。普渡大学的Chris Lomont在这篇论文里讨论了这个常数的意义，尝试用严格的方法推导出这个常数（他还提到有人认为这个函数是在NVidia工作过的Gary Tarolli写的）。Chris推出的常数是0x5f37642f)，和Q_rsqrt里的稍有不同，而且实际表现也稍有不如。卡马克到底怎么推出这个常数的就是谜了。这种高手不写书，实在可惜。

float Q_rsqrt( float number ) 
{ 
long i; 
float x2, y; 
const float threehalfs = 1.5F; 

x2 = number * 0.5F; 
y = number; 
i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking 
i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck? 
y = * ( float * ) &i; 
y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration 
// y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed 

#ifndef Q3_VM 
#ifdef __linux__ 
assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE? 
#endif 
#endif 

return y; 
}