[家里蹲大学数学杂志]第286期华中师范大学1999年数学分析考研试题参考解答

 1. ($15'$) 设 $f$ 在 $[a,\infty)$ 上连续, $\dps{\lim_{x\to \infty}f(x)=A}$. 证明: $f$ 在 $[a,\infty)$ 上有界.  

证明: 由 $\dps{\lim_{x\to \infty}f(x)=A}$ 知 $$\bex \exists\ X>a,\st x>X\ra |f(x)-A|\leq\cfrac{|A|+1}{2}\ra |f(x)|\leq \cfrac{3|A|+1}{2}. \eex$$ 又 $f$ 在 $[a,X]$ 上有界, 而 $$\bex \exists\ M>\cfrac{3|A|+1}{2},\st |f(x)|\leq M. \eex$$ 故在 $[a,\infty)$ 上总有 $|f(x)|\leq M$.

 

 2. ($15'$) 设 $x_n=\cfrac{\sin 1}{2}+\cfrac{\sin 2}{2^2}+\cdots +\cfrac{\sin n}{2^n}$, 证明: $\sed{x_n}$ 收敛.  

证明: 由 $$\bex |x_{n+p}-x_n|\leq \cfrac{1}{2^{n+1}}+\cdots+\cfrac{1}{2^{n+p}} \leq \cfrac{1}{2^n}\to 0\quad(n\to\infty) \eex$$ 及 Cauchy 收敛准则知结论成立.

 

 3. ($10'$) 设 $\lim_{x\to 0}\cfrac{1}{bx-\sin x}\int_0^x \cfrac{t^2}{\sqrt{a+t^2}}\rd t=1$, 试求正常数 $a$, $b$.  

解答: 由 $$\beex \bea 1&=\lim_{x\to 0}\cfrac{1}{b-\cos x}\cdot \cfrac{x^2}{\sqrt{a+x^2}}\\ &=\cfrac{1}{\sqrt{a}}\lim_{x\to 0}\cfrac{2x}{\sin x}\quad(b=1)\\ &=\cfrac{2}{\sqrt{a}} \eea \eeex$$ 知 $a=4, b=1$.

 

 4. ($15'$) 设 $f,g$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积, 试用可积准则证明: $fg$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积 (可积准则: $f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积的充要条件是, 对 $\forall\ \ve>0,$ 存在分割 $T$, 使得 $\sum_{i=1}^n \omega_i(f)<\ve$).  

证明: 由 $f,g$ Riemann 可积知 $$\bex \exists\ M>0,\st |f|,|g|\leq M. \eex$$ 于是 $$\beex \bea |f(x)g(x)-f(y)g(y)| &\leq |f(x)[g(x)-g(y)]|+|g(y)[f(x)-f(y)]|,\\ \omega_i(fg)&leq M\sez{\omega_i(f)+\omega_i(g)}. \eea \eeex$$ 再据 $f,g$ Riemann 可积, $\forall\ \ve>0,$ 存在分割 $T$, 使得 $$\bex \sum_{i=1}^n \omega_i(f)<\cfrac{\ve}{2M},\quad \sum_{i=1}^n \omega_i(g)<\cfrac{\ve}{2M}. \eex$$ 而 $$\bex \sum_i \omega_i(fg)\leq M\sez{\sum_{i=1}^n \omega_i(f) +\sum_{i=1}^n \omega_i(g)}<\ve. \eex$$

 

 5. ($10'$) 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上可微, $f(0)=0$, 且存在常数 $q\geq 0$, 使得 $$\bex |f'(x)|\leq q|f(x)|,\quad x\in [0,1]. \eex$$ 证明: $f\equiv 0$.  

证明: 设 $\dps{F(x)=\int_0^x|f'(t)|\rd t}$, 则 $$\beex \bea F'(x)&\leq q|f(x)|=q\sev{\int_0^x f'(t)\rd t}\leq qF(x),\\ \sez{e^{-qx}F(x)}'&\leq 0,\\ e^{-qx}F(x)&\leq e^{-q0}F(0)=0,\\ F(x)&\leq 0. \eea \eeex$$ 故 $F\equiv 0$, $f'\equiv 0$, $f\equiv 0$.

 

 6. ($15'$) 证明: 若 $b>a>0$, 则存在 $\xi\in (a,b)$, 使得 $$\bex b\ln a-a\ln b=(b-a) (\ln \xi-1). \eex$$  

证明: $$\bex \cfrac{b\ln a-a\ln b}{b-a} =\cfrac{\cfrac{\ln a}{a}-\cfrac{\ln b}{b}}{\cfrac{1}{a}-\cfrac{1}{b}} =\cfrac{\sex{\cfrac{\ln x}{x}}'}{\sex{\cfrac{1}{x}}'}|_{x=\xi} =\ln \xi-1. \eex$$

 

 7. ($10'$) 设 $\sed{a_n}$ 为单调递增数列, 若 $\sed{a_{n_k}}\subset \sed{a_n}$ 且 $\dps{\lim_{k\to\infty} a_{n_k}=a}$, 试证: $\dps{\vlm{n}a_n=a}$.  

证明: 由 $a_{n_k}\to a\ (k\to\infty)$ 知 $$\bex \forall\ \ve>0,\ \exists\ K>0,\st k\geq K\ra a-\ve< a_{n_k}<a+\ve. \eex$$ 于是当 $n\geq n_K$ 时, $\exists\ k\geq K,\st n_k\leq n\leq n_{k+1}$, 而 $$\bex a-\ve<a_{n_k}\leq a_n\leq a_{n_{k+1}}<a+\ve. \eex$$

 

 8. ($10'$) 设 $f_0$ 在有界闭区间 $[a,b]$ 上连续, 记 $$\bex f_n(x)=\int_0^x f_{n-1}(t)\rd t,\quad (n=1,2,\cdots). \eex$$ 试证: 函数项级数 $\dps{\vsm{n}f_n(x)}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛, 且绝对收敛.  

证明: 设 $|f_0|\leq M$, 则 $$\beex \bea |f_1(x)|&\leq M(x-a),\\ |f_2(x)|&\leq M\cfrac{(x-a)^2}{2},\\ \cdots&\cdots,\\ |f_n(x)|&\leq M\cfrac{(x-a)^n}{n!}. \eea \eeex$$ 故函数项级数 $\dps{\vsm_nf_n(x)}$ 有优级数 $\dps{M\vsm{n}\cfrac{1}{n!}}$, 而是一致收敛、绝对收敛的.