[家里蹲大学数学杂志]第042期《偏微分方程》试题

1 ( 15 分 ) 叙述二维 Laplace 方程 $u_{xx}+u_{yy}=0$ 的平均值公式 并用此证明 Laplace 方程的的极值原理.

 

2 ( 15 分 ) 用分离变量法求解下列问题: $$\bex \left\{\ba{lll} \frac{\p^2u}{\p t^2}-a^2\frac{\p^2u}{\p x^2}=0,&(x,t)\in Q=\sed{(x,t);\ 0<x<\pi,\ t>0},\\ u|_{x=0}=u|_{x=\pi}=0,&t>0,\\ u_{t=0}=\sin^2x, u_t|_{t=0}=x(\pi-x),&0\leq x\leq \pi. \ea\right. \eex$$

 

3 ( 15 分 ) 用 Fourier 变换求解如下二维热方程的 Cauchy 问题: $$\bex \left\{\ba{ll} \frac{\p u}{\p t}=a^2\sex{\frac{\p^2u}{\p x^2}+\frac{\p^2u}{\p y^2}},\\ u|_{t=0}=\varphi(x,y). \ea\right. \eex$$

 

4 ( 15 分 ) 证明如下初边值问题解的唯一性: $$\bex \left\{\ba{lll} \frac{\p u}{\p t}-a^2\frac{\p^2u}{\p x^2}=0,&t>0,\ 0<x<l,\\ u|_{x=0}=\mu_1(t),\ u|_{x=l}=\mu_2(t),&t>0,\\ u|_{t=0}=\varphi(x),&0\leq x\leq l. \ea\right. \eex$$

 

5 ( 10 分 ) 叙述 Huygens 原理.

 

6 ( 15 分 ) 用 D'Alembert 公式求解如下 1 维波方程: $$\bex \left\{\ba{lll} u_{tt}-a^2u_{xx}=f(x,t),\\ u(x,0)=0,\\ u_t(x,0)=\varphi(x). \ea\right. \eex$$

 

7 ( 15 分 ) 写出 3 维波方程 $$\bex \left\{\ba{lll} u_{tt}-\lap u=0,\\ u(x,0)=\varphi(x),\\ u_t(x,0)=\psi(x), \ea\right. \eex$$ 的解.

 

附加题

 

8 ( 10 分 ) 设 $$\bex \left\{\ba{lll} u_{tt}-a^2\lap u=f(x,t),\quad (x,t)\in \Omega\times \bbR_+,\\ u(x,0)=\varphi(x),\ u_t(x,0)=\psi(x),\\ u|_{\p \Omega}=0, \ea\right. \eex$$ 写出其能量不等式, 并证明解的唯一性.

 

9 ( 5 分 ) 设 $$\bex \left\{\ba{ll} -\lap u=f,&\mbox{in }\bbR^3,\\ \lim_{\sev{x}\to \infty}u=0, \ea\right. \eex$$ 其中 $f$ 绝对可积, 求 $u$.