[数分提高]2014-2015-2第5教学周第1次课讲义 3.1 导数

1. 设 $f$ 在 $x=x_0$ 处可导, $\al_n<x_0<\beta_n$, $$\bex \vlm{n}\al_n=x_0=\vlm{n}\beta_n. \eex$$ 试证: $$\bex \vlm{n}\frac{f(\beta_n)-f(\al_n)}{\beta_n-\al_n}=f'(x_0). \eex$$

 

2. 设 $f$ 在 $x=0$ 处连续, 且 $$\bex \lim_{x\to 0}\frac{f(2x)-f(x)}{x}=A. \eex$$ 试证: $f'(0)$ 存在且等于 $A$.

证明: $$\bex \frac{f(x)-f(0)}{x}-A=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2^{k+1}}\sez{ \frac{f\sex{\frac{x}{2^k}}-f\sex{\frac{x}{2^{k+1}}}}{\frac{x}{2^{k+1}}}-A}. \eex$$

 

3. 设 $f$ 在 $x=a$ 处连续, $|f|$ 在 $a$ 处可导. 试证: $f$ 在 $x=a$ 处可导.

 

作业. 设 $f\in C^1(\bbR)$, 则 $$\bex f\mbox{ 是 }k\mbox{ 次齐次函数}\lra xf'(x)=kf(x). \eex$$