[数分提高]2014-2015-2第9教学周第2次课 (2015-04-30)

1. 试证: $$\bex a,b\geq 1\ra ab\leq e^{a-1}+b\ln b. \eex$$

证明: 还记得 Young 不等式么? 直接令 $f(x)=e^x-1$, $f^{-1}(y)=\ln (1+y)$, 而 $$\bex (x-1)(y-1)\leq \int_0^{x-1}(e^t-1)\rd t +\int_0^{y-1}\ln(1+t)\rd t =1+e^{x-1}-x-y+y\ln y. \eex$$ (当然, 您也可以按照 Young 不等式的证明方法直接证明哦)

 

2. 设 $f\in C^1[0,1]$, 且 $f(1)-f(0)=1$, 试证: $$\bex \int_0^1 f'^2(x)\rd x\geq 1. \eex$$

证明: 由 Schwarz 不等式, $$\bex 1=[f(1)-f(0)]^2 =\sez{\int_0^1 f'(x)\rd x}^2 \leq \int_0^1 1^2\rd x \cdot \int_0^1 f'^2(x)\rd x. \eex$$

 

3. 试证: $$\bex 0<q<p\ra \ln \frac{p}{q}\leq \frac{p-q}{\sqrt{pq}}. \eex$$

证明: $$\bex \sex{\ln \frac{p}{q}}^2 =\sex{\int_q^p \frac{1}{x}\rd x}^2 \leq \int_q^p1^2\rd x \cdot \int_q^p \frac{1}{x^2}\rd x =(p-q)\sex{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}} =\frac{(p-q)^2}{pq}. \eex$$