[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.4

计算 $\dps{\int_0^1 \frac{\arcsin x}{x}\rd x}$. 

解答: $$\beex \bea \int_0^1 \frac{\arcsin x}{x}\rd x &=\int_0^\frac{\pi}{2} \frac{t\cos t}{\sin t}\rd t\\ &=\int_0^\frac{\pi}{2}t\rd \ln \sin t\\ &=-\int_0^\frac{\pi}{2}\ln \sin t\rd t\\ &=\frac{\pi}{2}\ln 2. \eea \eeex$$ 这里, 最后一步用了例 4.5.7 的结果.