算法笔记——整数划分3

题目来源：POJ1664-放苹果 和POJ3014

问题描述：

　　把m个同样的苹果放在n个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？（用K表示）5，1，1和1，5，1 是同一种分法。

输入：

　　第一行是测试数据的数目t（0 <= t <= 20）。以下每行均包含二个整数m和n，以空格分开。1<=m，n<=10。

输出：

　　对输入的每组数据m和n，用一行输出相应的K。

分析：

　　问题描述转换成整数划分形式：把一个正整数m分成至多n个正整数的和，有多少种分法？

　　假设用f(m,n)表示将m个苹果放入n个盘子中的方法，n个盘子可以分为有空的和没有空的两种情况，那么可以得到下面的递推关系式：

　　　　1、当m < n时，则必有盘子空着，假设某个盘子空着，将m个苹果放入剩下的n-1个盘子中：

　　　　　　f(m, n) = f(m, n-1)

　　　　2、当m = n时，没有盘子空只存在每个盘子一哥苹果的情况。对于存在盘子空着的情况，假设某个盘子空着，将m个苹果放入剩下的n-1个盘子中：

　　　　　　f(m, n) = f(m, n-1) + 1

　　　　3、当m > n时，没有盘子空着，则先每个盘子放一个苹果，剩下的m-n个在放入n个盘子中。对于存在盘子空着的情况，假设某个盘子空着，将m个苹果放入剩下的n-1个盘子中：

　　　　　　f(m, n) = f(m, n-1) + f(m - n, n)

　　　　初始条件：

　　　　　　n = 1时，f(m, n) = 1;

代码：

　　根据上面的递推式，同样可以写出递归和递推的代码。　　

　　递推代码见github:整数划分3