[实变函数]6 微分与不定积分

 6.0 引言

1数学分析中有积分与微分的互逆运算: $$\beex \bea f\in R[a,b]&\ra f\ae \mbox{ 连续}\\ &\ra\frac{\rd }{\rd x}\int_a^x f(t)\rd t =f(x),\ae\\ &\ra \mbox{积分后微分可 }\ae\mbox{ 还原};\\ f'\in R[a,b]&\ra f(x)=f(a)+\int_a^xf'(t)\rd t\\ &\ra\mbox{微分后再积分可还原}. \eea \eeex$$

2本章主要把上述积分与微分的互逆运算推广到 Lebesgue 积分的情形.

 

6.1 Vitali 定理

1 $V$-覆盖: 设 $E\subset \bbR$, $\scrV=\sed{I;|I|>0}$. 若 $$\beex \bea &\quad\forall\ x\in E,\ \forall\ \ve>0,\ \exists\ I\in \scrV,\st x\in I,\ |I|<\ve\\ &\lra \forall\ x\in E,\ \exists\ I_n\in \scrV,\st x\in I_n, mI_n\to 0, \eea \eeex$$ 则称 $\scrV$ 是 $E$ 的 $V$-覆盖.

2 Vitali 覆盖定理---可数不交几乎覆盖: $$\bex \serd{\ba{ll} E\subset \bbR: m^*E<+\infty\\ V\mbox{ 是 } E\mbox{ 的 }V\mbox{-覆盖} \ea}\ra \exists\ \sed{I_k}_{k=1}^\infty\mbox{ 两两不交},\st m\sex{E\bs \cup_{k=1}^\infty I_k}=0. \eex$$

3 Vitali 覆盖定理的另一形式---有限不交基本上覆盖: $$\bex \serd{\ba{ll} E\subset\bbR: m^*E<+\infty\\ V\mbox{ 是 }E\mbox{ 的 }V\mbox{-覆盖} \ea}\ra \forall\ \ve>0,\ \exists\ \sed{I_k}_{k=1}^n \mbox{ 两两不交},\st m\sex{E\bs \cup_{k=1}^n E_k}<\ve. \eex$$

 

6.2单调函数的可微性

1 列导数: 设 $f:[a,b]\to \bbR$, $x_0\in [a,b]$. 若 $$\bex \exists\ 0\neq h_n\to 0,\st \lim_{n\to\infty}\frac{f(x+h_n)-f(x)}{h_n}=\lambda \mbox{ 或 }\pm \infty, \eex$$ 则称 $\lambda$ 为 $f$ 在 $x_0$ 处的一个列导数, 记作 $Df(x_0)=\lambda$.

(1)当 $f'(x)$ 存在时, $Df(x)=f'(x)$.

(2)$Df(x_0)$ 与 $h_n$ 的选取有关: $$\bex D|x|(0)=\sedd{\ba{ll} -1,&h_n<0\\ 1,&h_n>0 \ea};\quad DD(x)=\sedd{\ba{ll} 0,&h_n\in \bbQ\\ -\infty,&0<h_n\not\in \bbQ\\ +\infty,&0>h_n\not\in \bbQ \ea},\quad x\in\bbQ. \eex$$

2外测度在映射下的变化: 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上严格单增, $E\subset [a,b]$, 则 $$\beex \bea Df(x)\leq p\ (p\geq 0),\ x\in E &\ra m^*f(E)\leq p\cdot m^*E;\\ Df(x)\geq q\ (q\geq 0),\ x\in E &\ra m^*f(E)\geq q\cdot m^*E. \eea \eeex$$

3 Lebesgue 关于单调函数的定理: $$\bex f\mbox{ 在 }[a,b] \mbox{ 上单增} \ra \sedd{\ba{ll} f\ae \mbox{ 存在导数}\ra f'\geq 0,\ae\\ f'\mbox{ 在 }[a,b]\mbox{ 上 Lebesgue 可积}\\ \int_a^b f'(x)\rd x\leq f(b)-f(a) \ea}. \eex$$

 

6.3有界变差函数 (functions of bounded variation)

1 可求长 (rectifiable) 曲线: 一曲线 $\dps{C:\sedd{\ba{ll} x=\phi(t)\\ y=\psi(t) \ea},\ \alpha\leq t\leq \beta}$ 称为可求长的, 如果 $$\beex \bea &\quad L=\sup_{T: \alpha=t_0<t_1<\cdots<t_n=\beta} \sum_{i=1}^n \overline{P(t_{i-1})P(t_i)}<+\infty\quad\sex{P(t_i)=(\phi(t_i),\psi(t_i)}\\ &\lra \sup_T \sum_{i=1}^n |\phi(t_i)-\phi_{i-1}|<+\infty,\quad \sup_T \sum_{i=1}^n |\psi(t_i)-\psi_{i-1}|<+\infty \eea \eeex$$

2有界变差函数 (functions of bounded variation): 设 $f:[a,b]\to\bbR$, 则 $$\bex f\in BV[a,b]\lra \underset{a}{\overset{b}{V}}(f) =\sup_T \sum_{i=1}^n|f(x_i)-f(x_{i-1})|<+\infty. \eex$$

(1)    例: $C$ 可求长 $\lra\ \phi,\psi\in BV[a,b]$.

(2)    $\dps{\serd{\ba{ll} Lip[a,b]\\ \sed{[a,b]\mbox{ 上单调函数}} \ea}\subset BV[a,b]}$. 

(3)    $BV[a,b]$ 与 $C[a,b]$ 之间没有半毛钱关系.

3有界变差函数的性质

(1)$\dps{f\in BV[a,b],\ [a_1,b_1]\subset [a,b]\ra f\in BV[a_1,b_1]}$.

(2)$\dps{a<c<b\ra \underset{a}{\overset{b}{V}}(f) =\underset{a}{\overset{c}{V}}(f) +\underset{c}{\overset{b}{V}}(f)}$.

(3)$f\in BV[a,b]\ra f$ 有界.

(4)$f,g\in BV[a,b]\ra f\pm g,\ f\cdot g\in BV[a,b]$.

(5)有界变差函数的 Jordan 分解: $$\bex f\in BV[a,b]\ra f=g+h,\quad g,h\nearrow. \eex$$ 证明: $$\bex f(x)=\underset{a}{\overset{x}{V}}(f)-\sez{ \underset{a}{\overset{x}{V}}(f)-f(x) }. \eex$$

(6)推论: $$\bex f\in BV[a,b]\ra \sedd{\ba{ll} f'\ae\mbox{ 存在}\\ f'\in L[a,b] \ea}. \eex$$

(7)$\dps{\underset{a}{\overset{x}{V}}(f)\mbox{ 单增}\ra \frac{\rd}{\rd x}\underset{a}{\overset{x}{V}}(f)=|f'(x)|,\ae}$.

4作业: Page 179 T 14.

 

6.4 不定积分 (indefinite integral)

1.不定积分 (indefinite integral): $$\bex f\in L[a,b]\ra F(x)=\int_{[a,x]}f(t)\rd t+C \eex$$ 称为 $f$ 的一个不定积分, 其中 $C$ 为任一常数.

2不定积分的性质: 设 $$\bex F(x)=\int_a^x f(t)\rd t+C,\quad f\in L[a,b], \eex$$ 则由积分的绝对连续性, $$\bex \forall\ \ve>0,\ \exists\ \delta>0,\ \forall\ A\subset A:\ mA<\delta,\mbox{ 有 } \sev{\int_A f(x)\rd x}\leq \int_A \sev{f(x)}\rd x<\ve. \eex$$ 特别取 $$\bex A=\cup_{i=1}^n (a_i,b_i),\ (a_i,b_i)\mbox{ 两两不交}, \sum_{i=1}^n (b_i-a_i)<\delta, \eex$$ 有 $$\beex \bea &\quad\sum_{i=1}^n |F(b_i)-F(a_i)| =\sum_{i=1}^n \sev{\int_{[a_i,b_i]}f(x)\rd x} \leq \sum_{i=1}^n \int_{[a_i,b_i]}|f(x)|\rd x\\ & =\int_{\cup_{i=1}^n [a_i,b_i]}|f(x)|\rd x<\ve. \eea \eeex$$ 综上, 不定积分 $F$ 具有性质: $$\bee\label{6.4:ac} \dps{\forall\ \ve>0,\ \exists\ \delta>0,\ \forall\ \sed{(a_i,b_i)}_{i=1}^n\mbox{ 两两不交}, \sum_{i=1}^n (b_i-a_i)<\delta,}\atop\dps{\mbox{ 有 }\sum_{i=1}^n |F(b_i)-F(a_i)|<\ve.} \eee$$

3绝对连续函数 (absolutely continuous functions): $$\bex f\in AC[a,b]\lra \eqref{6.4:ac} \mbox{ 成立}. \eex$$

4 AC 函数的性质

(1)$\dps{f\in L[a,b]\ra F(x)=\int_a^xf(t)\rd t+C\in AC[a,b]}$.

(2)$AC[a,b]\subset UC[a,b]$ (uniformly continuous).

(3)$Lip[a,b]\subset AC[a,b]\subset BV[a,b]$. 证明: 设 $f\in AC[a,b]$, 则对 $\ve=1$, $$\bex \forall\ \sed{(a_i,b_i)}_{i=1}^n\mbox{ 两两不交},\ \sum_{i=1}^n (b_i-a_i)<\delta,\mbox{ 有 }\sum_{i=1}^n |f(b_i)-f(a_i)|<1. \eex$$ 选取 $\dps{n:\frac{1}{n}<\delta}$, 对 $[a,b]$ $n$ 等分: $\dps{x_i=a+\frac{b-a}{n}i\ i=0,1,\cdots,n}$, 则 $$\bex \underset{x_{i-1}}{\overset{x_i}{V}}(f)\leq 1 \ra \underset{a}{\overset{b}{V}}(f) =\sum_{i=1}^n \underset{x_{i-1}}{\overset{x_i}{V}}(f)\leq n<+\infty. \eex$$

5 常数函数的判断: $$\bex f\in AC[a,b],\ f'\equiv 0,\ae\ra f\equiv const. \eex$$

6积分与微分为互逆运算 (Lebesgue 意义下) 

(1)    积分后再微分可还原:

$$\bex f\in L[a,b]\ra \frac{\rd}{\rd x}\int_{[a,x]}f(t)\rd t=f(x),\ae.\eex$$ 证明: $$\bex F(x)=\int_{[a,x]}f(t)\rd t \in AC[a,b]\subset BV[a,b]\ra F\ae \mbox{ 可导}. \eex$$ $$\beex \bea &\quad\int_{[a,b]}\sev{\frac{\rd}{\rd x}\int_{[a,x]}f(t)\rd t-f(x)}\rd x\\ &\leq \int_{[a,b]}\sev{\frac{\rd}{\rd x}\int_{[a,x]}f(t)\rd t-\phi(x)}\rd x +\int_{[a,b]}|f(x)-\phi(x)|\rd x\\ &\quad\sex{\phi \in C[a,b]:\ \int_{[a,b]}|f(x)-\phi(x)|\rd x<\frac{\ve}{2},\mbox{ 参见 Page 118}}\\ &=\int_{[a,b]}\sev{\frac{\rd}{\rd x} \int_{[a,x]}[f(t)-\phi(t)]\rd t}\rd x+\frac{\ve}{2}\\ &<I+\frac{\ve}{2}. \eea \eeex$$ 我们估计 $I$. 为此, 记 $h=f-g$, 则 $$\beex \bea h&=h^+-h^-\\ \int_a^x h(t)\rd t &=\int_a^ xh^+(t)\rd t -\int_a^x h^-(t)\rd t\\ \frac{\rd}{\rd x} \int_a^x h(t)\rd t &=\frac{\rd}{\rd x}\int_a^ xh^+(t)\rd t -\frac{\rd}{\rd x}\int_a^x h^-(t)\rd t\\ \sev{\frac{\rd}{\rd x} \int_a^x h(t)\rd t} &\leq \frac{\rd}{\rd x}\int_a^ xh^+(t)\rd t +\frac{\rd}{\rd x}\int_a^x h^-(t)\rd t\\ I&\leq \int_a^b \sez{ \frac{\rd}{\rd x}\int_a^ xh^+(t)\rd t }\rd x +\int_a^b \sez{ \frac{\rd}{\rd x}\int_a^x h^-(t)\rd t }\rd x\\ &\leq \int_a^b h^+(x)\rd x +\int_a^b h^-(x)\rd x\\ &\quad\sex{\ba{ll}\dps{\phi(x)=\int_a^xh^+(t)\rd t\in AC[a,b]\subset BV[a,b]}\\\dps{ \ra \int_a^b \phi'(x)\rd x \leq \phi(b)-\phi(a)=\int_a^b h^+(x)\rd x}\ea}\\ &=\int_a^b |h(x)|\rd x\\ &<\frac{\ve}{2}. \eea \eeex$$

(2)    微分后再积分可还原: $$\bex F\in AC[a,b]\ra \sedd{\ba{ll} F'\ae\mbox{ 存在}\\ F'\in L[a,b]\\ F(x)=F(a)+\int_a^x F'(t)\rd t \ea}. \eex$$ 证明: 令

$$\bex G(x)=F(a)+\int_a^x F'(t)\rd t,\quad H(x)=F(x)-G(x). \eex$$ 则 $H\in AC[a,b]$, $H'=0,\ae$. 故 $H=const$.

7 AC 函数的刻画 $$\beex \bea AC[a,b]&=\sed{\mbox{Lebesgue 可积函数的不定积分}}\\ &=\sed{f;\ \ba{ll}\dps{\forall\ \ve>0, \exists\ \delta>0,\ \forall\ \sed{(a_i,b_i)}_{i=1}^\infty (a_i,b_i)\mbox{ 两两不交}, }\atop\dps{\sum_{i=1}^\infty(b_i-a_i)<\delta, \mbox{ 有 }\sum_{i=1}^\infty |f(b_i)-f(a_i)|<\ve }\ea}. \eea \eeex$$

8作业: Page 179 T 16.