[复变函数]第08堂课 2.3 初等多值函数
0. 引言
(1) 单值函数 (通常的函数), 多值函数 (如 $\sqrt[n]{z}$, $\Arg z$).
(2) 单叶函数: $$\bex f\mbox{ 在区域 }D \mbox{ 内单叶: } z_1\neq z_2\ra f(z_1)\neq f(z_2). \eex$$ 而也称 $D$ 为 $f$ 的单叶性区域.
例: $w=z^2$ 在 $\bbC$ 上不是单叶的, 但在 $\Im z>0$ 上是单叶的.
1. 根式函数
(1) 定义: $$\bex z=re^{i\tt}\ra w=\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\tt}{n}} \cdot e^{i\frac{2k\pi}{n}}\quad(k=0,1,2,\cdots,n-1). \eex$$
(2) 怎么使 $w=\sqrt[n]{z}$ 是单值函数呢?
a. $z=re^{i\tt}$, 把 $\tt$ 范围定下来 (使其不相差 $2\pi$ 的整数倍). 比如沿负实轴割开 $z$ 平面, 则 $$\bex -\pi<\Arg z\leq \pi (\mbox{主辐角}),\mbox{ 或 } -\pi\leq \tt<\pi; \eex$$ 按照上下左右岸来定 $=$.
b. 把 $k$ 定下来, 称为 $\sqrt[n]{z}$ 的第 $k$ 个单值解析分支.
(3) 例: 设 $w=\sqrt[3]{z}$ 确定在从原点 $z=0$ 起沿着负实轴割破了的 $z$ 平面上, 并且 $w(i)=-i$. 求 $w(-i)$.
解:
a. 沿负实轴割破 $z$ 平面 $\ra -\pi <\Arg z\leq \pi$.
b. $$\bex -i=w(i)=\sqrt[3]{i}=\sqrt[3]{e^{i\frac{\pi}{2}}} =e^{i\frac{\pi}{6}} \cdot e^{i\frac{2k\pi}{3}}\ra k=2. \eex$$
c. $$\beex \bea w(z)&=\sqrt[3]{r}e^{i\frac{\tt}{3}}\cdot e^{i\frac{4\pi}{3}}\quad(z=re^{i\tt}),\\ w(-i)&=w(e^{-i\frac{\pi}{2}})=e^{i\sex{\frac{-\frac{\pi}{2}}{3}+\frac{4\pi}{3}}} =e^{i\frac{7\pi}{6}}. \eea \eeex$$
(4) 例: 设 $w=\sqrt[3]{z}$ 确定在从原点 $z=0$ 起沿着负实轴割破了的 $z$ 平面上, 并且 $w(-1)=-1$, 这里 $-1$ 是边界上岸的点. 求 $w(-i)$.
解:
a. 沿负实轴割破 $z$ 平面 $\ra -\pi <\Arg z\leq \pi$.
b. $$\bex -i=w(-1)=w(e^{i\pi}) =e^{i\frac{\pi}{3}}\cdot e^{i\frac{2k\pi}{3}}\ra k=1. \eex$$
c. $$\beex \bea w(z)&=\sqrt[3]{r}e^{i\frac{\tt}{3}}\cdot e^{i\frac{2\pi}{3}}\quad(z=re^{i\tt}),\\ w(-i)&=w(e^{-i\frac{\pi}{2}}) =e^{i\sex{\frac{-\frac{\pi}{2}}{3}+\frac{2\pi}{3}}} =e^{i\frac{\pi}{2}}=i. \eea \eeex$$
(5) 例: 设 $w=\sqrt[3]{z}$ 确定在从原点 $z=0$ 起沿着正实轴割破了的 $z$ 平面上, 并且 $w(i)=-i$. 求 $w(-i)$.
解:
a. 沿正实轴割破 $z$ 平面 $\ra 0<\Arg z\leq 2\pi$ 或 $0\leq \Arg z<2\pi$.
b. $$\bex -i=w(i)=\sqrt[3]{i}=\sqrt[3]{e^{i\frac{\pi}{2}}} =e^{i\frac{\pi}{6}} \cdot e^{i\frac{2k\pi}{3}}\ra k=2. \eex$$
c. $$\beex \bea w(z)&=\sqrt[3]{r}e^{i\frac{\tt}{3}}\cdot e^{i\frac{4\pi}{3}}\quad(z=re^{i\tt}),\\ w(-i)&=w(e^{i\frac{3\pi}{2}}) =e^{i\frac{\pi}{2}}\cdot e^{i\frac{4\pi}{3}} =e^{i\frac{11\pi}{6}}. \eea \eeex$$
2. 对数函数
(1) 定义: 把 $e^w=z$ 的反函数称为对数函数 $w=\Ln z$.
(2) 设 $z=re^{i\tt}$, $w=u+iv$, 则 $$\beex \bea &\quad e^u\cdot e^{iv}=re^{i\tt}\\ &\ra e^u=r,\quad v=\tt+2k\pi\\ &\ra w=\ln r+i(\tt+2k\pi). \eea \eeex$$
(3) 怎么使 $w=\Ln z$ 为单值函数呢?
a. 把 $\tt$ 的范围定下 (割破 $z$ 平面). 同 $\sqrt[n]{z}$ 的讨论.
b. 把 $k$ 定住, 称为 $\Ln z$ 的第 $k$ 个单值解析分支.
(4) 例: 设 $w=\Ln z$ 确定在从原点 $z=0$ 起沿着负实轴割破了的 $z$ 平面上, 并且 $w(i)=\cfrac{5\pi i}{2}$. 求 $w(-i)$.
解:
a. $-\pi<\Arg z<\pi$.
b. $$\bex \frac{5\pi i}{2}=w(i)=w(e^{i\frac{\pi}{2}}) =i\sex{\frac{\pi}{2}+2k\pi}\ra k=1. \eex$$
c. $$\beex \bea w(z)&=\ln r+i(\tt+2\pi)\quad(z=re^{i\tt}),\\ w(-i)&=w(e^{-i\frac{\pi}{2}}) =i\sex{-\frac{\pi}{2}+2\pi} =\frac{3\pi i}{2}. \eea \eeex$$
3. 幂函数、一般指数函数: $$\bex w=z^\alpha=e^{\alpha\Ln z},\quad w=a^z=e^{z\Ln a}. \eex$$
作业: P 92 T 22, T 23.