[复变函数]第23堂课 6.2 用留数定理计算实积分 (续)

2. $\dps{\int_{-\infty}^{+\infty}\cfrac{P(x)}{Q(x)}\rd x}$ 型 ($\deg P=m,\deg Q=n, n-m\geq 2; Q\neq 0$)

(1) 数分: 分拆

(2) 复变: 构造围道积分, 而 $$\bex =2\pi i\sum_{\Im a_k>0}\underset{z=a_k}{\Res}\cfrac{P(z)}{Q(z)}. \eex$$

(3) 例: 求 $\dps{I=\int_0^\infty \cfrac{\rd x}{x^4+a^4}\ (a>0)}$.

 

3. $\dps{\int_{-\infty}^{+\infty}\cfrac{P(x)}{Q(x)}e^{imx}\rd x}$ 型 ($\deg Q>\deg P; Q\neq 0; m>0$)

(1) 公式: $$\bex =2\pi i\sum_{\Im a_k>0}\underset{z=a_k}{\Res}\sez{\cfrac{P(z)}{Q(z)}e^{imz}}. \eex$$

(2) 例: a. $\dps{\int_0^{+\infty}\cfrac{\cos mx}{1+x^2}\rd x\ (m>0)}$. b. $\dps{\int_{-\infty}^{+\infty}\cfrac{x\cos x}{x^2-2x+10}\rd x}$.

 

作业: P 263 T 5 (1) (3).