dp --- 最大子矩阵和
To The Max
Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 7593 Accepted Submission(s): 3679
As an example, the maximal sub-rectangle of the array:
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
is in the lower left corner:
9 2
-4 1
-1 8
and has a sum of 15.
【题目大意】
首先输入一个数N，然后输入N*N的一个矩阵，要求输出最大子矩阵的和。
【题目链接】
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1081
【题目分析】
乍看题目意思很简单，但对于刚开始学DP的新手来说也不是很简单。
这道题使用到的算法是：矩阵压缩+最大连续子串和 （keambar大神说这不是矩阵压缩，是预处理，好像确实是这样，但也没多大影响，暂时就这样叫吧 =.=）
如果会做最大连续子串和，那么理解这题就相对简单一些，若不知道最大连续子串和，建议先看一下这两题：
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1003
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1231
这题的思想是求最大连续子串和的思想，不过这题是2维的，我们的可以将它转换为一维，然后再运用该思想求它的最大值！
如何将其转化为一维的呢？这就用到了矩阵压缩。
子矩阵必定也是由行和列组成，如上这个矩阵，它的行的组合有 1,1-2,1-3,1-4，2,2-3,2-4，3，3-4,4，无非这10种组合，这样，我们就可以将行进行压缩，比如说：1-2，我们将1,2行数据进行压缩，及进行合并。
0 -2 -7 0
+9 2 -6 2
-------------
9 0 -13 2
那么这样我们就可以通过求最大连续子串和的思想求其最大值，为9
再看：2-4这个组合
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
+ -1 8 0 -2
----------------
4 11 -10 1
所以它的最大和为15
这样通过压缩行，即将这个矩形的宽变为1，可以迅速的求出子矩阵的值，并求出最大值，因为求最大连续子串和思想是线性的，复杂度为O(N)，所以可以快速求出压缩后矩阵的和！
下面是自己写的代码：（虽然有点暴力，但是过这题时间毫无压力）
# include<stdio.h>
# include<string.h>
int dp[105][105]; int map[105][105]; int main() { int i,j,n,i1,i2,sum,temp,max,res; while(scanf("%d",&n)!=EOF) { for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) scanf("%d",&map[i][j]); memset(dp,0,sizeof(dp)); for(j=1;j<=n;j++) //控制列 for(i=1;i<=n;i++) //控制行 dp[j][i]=dp[j][i-1]+map[i][j]; //dp[j][i]代表第j列从第1行开始的数累加到到第i行的和 res=0; for(i1=1;i1<=n;i1++) //i1,i2控制行的组合 for(i2=i1;i2<=n;i2++) { max=sum=0; for(j=1;j<=n;j++) //j控制在该行组合下的列 { sum+=dp[j][i2]-dp[j][i1-1]; //表示第 j 列从第i1到i2行数字之和 if(sum>=0) //下面即为求最大连续子串和思想 { if(sum>=max) max=sum; } else sum=0; } if(max>=res) res=max; } printf("%d\n",res); } return 0; }
最大子矩阵
Time Limit: 30000/10000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 2743 Accepted Submission(s): 1391
【题目分析】
这题和上一题有些许不同，这题在题目中明确说给的每个数都是正整数，这就意味着我们不需要去处理负数的情况。解决这题有一个很巧妙的方法。详看代码。
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>
#define MAX(a,b) (a>b?a:b)
#define MIN(a,b) (a<b?a:b)
int dp[1010][1010];
int main()
{
int T,i, j, m, n, x, y, a, max, sum;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
max = 0;
memset(dp,0,sizeof(dp));
scanf("%d%d%d%d",&m,&n,&x,&y);
for(i = 1; i <= m; i++)
{
for(j = 1; j <= n; j++)
{
scanf("%d",&a);
dp[i][j] = dp[i-1][j]-dp[i-1][j-1]+dp[i][j-1]+a;
if(i>=x && j >= y)
max = MAX(max,dp[i][j]-dp[i][j-y]-dp[i-x][j]+dp[i-x][j-y]);
}
}
printf("%d\n",max);
}
return 0;
}