组合数学 - 全错位排序公式

 

不容易系列之一

Problem Description

大家常常感慨，要做好一件事情真的不容易，确实，失败比成功容易多了！
做好“一件”事情尚且不易，若想永远成功而总从不失败，那更是难上加难了，就像花钱总是比挣钱容易的道理一样。
话虽这样说，我还是要告诉大家，要想失败到一定程度也是不容易的。比如，我高中的时候，就有一个神奇的女生，在英语考试的时候，竟然把40个单项选择题全部做错了！大家都学过概率论，应该知道出现这种情况的概率，所以至今我都觉得这是一件神奇的事情。如果套用一句经典的评语，我们可以这样总结：一个人做错一道选择题并不难，难的是全部做错，一个不对。

不幸的是，这种小概率事件又发生了，而且就在我们身边：
事情是这样的——HDU有个网名叫做8006的男性同学，结交网友无数，最近该同学玩起了浪漫，同时给n个网友每人写了一封信，这都没什么，要命的是，他竟然把所有的信都装错了信封！注意了，是全部装错哟！

现在的问题是：请大家帮可怜的8006同学计算一下，一共有多少种可能的错误方式呢？

 

 

Input

输入数据包含多个多个测试实例，每个测试实例占用一行，每行包含一个正整数n（1<n<=20），n表示8006的网友的人数。

 

 

Output

对于每行输入请输出可能的错误方式的数量，每个实例的输出占用一行。

 

 

Sample Input

2 3

 

 

Sample Output

1 2

 

 

Author

lcy

 

---

 

Mean: 

 略

analyse:

 就是错排公式的简单运用。下面来了解一下错排公式。

所谓错排就是全错位排序公式，即被著名数学家欧拉(Leonhard Euler，1707－1783)称为组合数论的一个妙题的“装错信封问题”，他求解这样的问题:

一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？

 

递推公式：f(n)=(n-1) * {f(n-1)+f(n-2)}

 

 

Time complexity：O(n)

 

Source code：

 

// Memory   Time
// 1347K     0MS
// by : Snarl_jsb
// 2014-09-15-21.27
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<string>
#include<climits>
#include<cmath>
#define N 1000010
#define LL long long
using namespace std;

long long a[N];
void cuopai(long long n)  ////   Formula :  f(n)=(n-1)*{f(n-1)+f(n-2)} ;
{
    a[1]=0,a[2]=1;
    for(long long i=3;i<=n;i++)
    {
        a[i]=(i-1)*(a[i-1]+a[i-2]);
    }
}

int main()
{
//    freopen("C:\\Users\\ASUS\\Desktop\\cin.cpp","r",stdin);
//    freopen("C:\\Users\\ASUS\\Desktop\\cout.cpp","w",stdout);
    cuopai(30);
    int n;
    while(cin>>n)
    {
        cout<<a[n]<<endl;
    }

    return 0;
}