西瓜书《机器学习》课后答案——chapter9

9.1 证明： p≥1 时，闵可夫斯基距离满足距离度量的四条基本性质。 0≤p<1 时，闵可夫斯基距离只满足非负性、规范性和对称性，不满足三角不等式。当p趋向于无穷大时，闵可夫斯基距离等于对应分量的最大绝对距离，也称为切比雪夫距离：

limp→+∞(∑u=1n|xiu−xju|p)1p=maxu|xiu−xju|.

解答：

• 当 p>0 时，
  非负性：显然为正。
  规范性：当 xi=xj 时，有 (∑nu=1|xiu−xju|p)1p=0 ；当 (∑nu=1|xiu−xju|p)1p=0 时，假设 xi≠xj ，则 (∑nu=1|xiu−xju|p)1p≠0 ，与条件矛盾，故假设不成立，应有 xi=xj 。
  对称性：绝对值不变，故距离不变。显然

闵可夫斯基不等式
当 p≥1 时，则有如下不等式成立，称为闵可夫斯基不等式：

(∑i=1n|ai+bi|p)1p≤(∑i=1n|ai|p)1p+(∑i=1n|bi|p)1p.

其中 ai,bi 为实数或者复数。

• 当 p≥1 时，根据闵可夫斯基不等式，有
  
  (∑u=1n|xiu−xju|p)1p=(∑u=1n|xiu−xku+xku−xju|p)1p≤(∑u=1n|xiu−xku|p)1p+(∑u=1n|xku−xju|p)1p,(1)
  
  即三角不等式成立。

至于 0≤p<1 时，怎么证明此不等式不成立就不知道了。

• 切比雪夫距离：
  
  limp→+∞(∑u=1n|xiu−xju|p)1p=maxu|xiu−xju|limp→+∞(∑u=1n(|xiu−xju|maxu|xiu−xju|)p)1p=maxu|xiu−xju|.(2)
  
  (|xiu−xju|maxu|xiu−xju|) 大于0小于等于1：对于小于1的项，当 p→+∞ 时趋向于0，只有为1的项保留下来了， p→+∞ 时还为1。因为只有有限个等于1的项，所以求和可以认为等于一个常数a，且 a≥1 ，则 limp→+∞a1p=1 。于是（2）的第二个等式成立。

9.2 同一样本空间中的集合X与Z之间的距离可以通过豪斯多夫距离计算：

distH(X,Z)=max(disth(X,Z),disth(Z,X)),

其中，

disth(X,Z)=maxx∈Xminz∈Z||x−z||2.

试证明：豪斯多夫距离满足距离度量的四条基本性质。

解答：

非负性：显然。
规范性：
当 X=Z 时，有 disth(X,Z)=0 ，所以 distH(X,Z)=0 .
当 distH(X,Z)=0 时，表明 disth(X,Z) 和 disth(Z,H) 中最大的那个为0，又因为不可能为负，所以两个只能都为0。而 disth(X,Z)=0 意味着X中的任一点到Z的距离为0，这表示X中的任一点都必须属于Z，也就是说 X⊂Z 。同样，由 disth(Z,H)=0 可以知道 Z⊂X 。于是有 X=Z 。
对称性：显然。
三角不等式：

disth(x,Z) =minz∈Z||x−z||2=minz∈Z||x−y+y−z||2,∀y∈Y≤minz∈Z(||x−y||2+||y−z||2),∀y∈Y=||x−y||2+minz∈Z||y−z||2,∀y∈Y≤||x−y||2+maxyminz∈Z||y−z||2,∀y∈Y=||x−y||2+disth(Y,Z),∀y∈Y

对不等式右边求 miny ，有

disth(x,Z)≤miny||x−y||2+disth(Y,Z),∀x∈X

对不等式右边求 maxx ，有

disth(x,Z)≤disth(X,Y)+disth(Y,Z),∀x∈X

对不等式左边求 maxx ，有

disth(X,Z)≤disth(X,Y)+disth(Y,Z)

参考：http://www.math.harvard.edu/library/sternberg/slides/1180910.pdf

9.3 分析k均值算法能否找到最小化(9.24)的最优解。
解答：
k均值算法是用迭代的方法求解优化问题(9.24)的，每次迭代分为两步：计算簇中心；根据样本到簇中心的距离重新聚类。两个步骤都可以使得代价函数降低（至于为什么，可以阅读PRML p.425），又因为代价函数是有界的（聚类方法是有限的），所以不断迭代之后，最终一定能收敛，但不一定收敛到全局最小。而且收敛结果是对初值敏感的，不同的初值得到的聚类结果可能有很大差别。

上面只是简单的叙述，至于能不能严格证明：k均值算法不一定收敛到最优解，就不得而知了。目前只听说过证明收敛性的。

9.4 编程实现k均值算法，设置三组不同的k值、三组不同初始中心点，在西瓜数据集4.0上进行实验比较，并讨论什么样的初始中心有助于得到好结果。
解答：西瓜书《机器学习》课后答案——chapter9 _9.4

9.5 基于DBSCAN的概念定义，若x为核心对象，由x密度可达的所有样本构成的集合为X，试证明：X满足连接性和最大性。
解答：
连接性：对 ∀xi∈X,∀xj∈X ，有 xi 和 xj 密度相连。
xi∈X ， xj∈X 分别表示 xi 由 x 密度可达， xj 由 x 密度可达，于是由密度相连的定义可以知道 xi 和 xj 密度相连。

最大性：对 ∀xi∈X ， xj 由 xi 密度可达，则 xj∈C 。
因为 xi∈X ，所以 xi 由 x 密度可达，又因为 xj 由 xi 密度可达，所以 xj 由 x 密度可达，于是 xj∈C 。

9.6 试析AGNES算法使用最小距离和最大距离的区别。
解答：
当两个类簇比较大且距离比较远，但是有两个点距离对方比较近时，那么单链接算法会把这两个类簇合并，导致产生拉长的类簇而不是一般情况下的圆形类簇，这被称为链式效应。因为这个算法经常由于链式效应而把不相似的对象放到同一类簇中，所以是空间压缩的(space contracting)。
当两个类簇中至少有一对比较远离的对象时，全链接算法会最后合并这两个类簇，于是相似对象会长时间待在不同类簇中，这被称为分离效果(dissection effect)。所以，全链接算法是空间扩张的(space dilating)。

参考：Finding Groups in Data: An Introduction to Cluster Analysis. L Kaufman ， PJ Rousseeuw. 1990. p.225.

9.7 聚类结果中若每个簇都有一个凸包（包含簇样本的凸多面体），且这些凸包不相交，则称为凸聚类。试析本章介绍的哪些聚类算法只能产生凸聚类，哪些能产生非凸聚类。
解答：
k-means算法是凸聚类算法，生成的类簇有凸包包围并且凸包互不相交；
DBSCAN算法是非凸聚类算法；

9.8 试设计一个聚类性能度量指标，并与9.2中的指标比较。

9.9 设计一个能用于混合属性的非度量距离。
用于相似性度量的距离不一定要满足距离的定义，这样的距离称非度量距离。

9.10 设计一个能自动确定聚类数的改进k均值算法，编程实现并在西瓜数据集4.0上运行。