【51nod 1847】奇怪的数学题
题目描述
给出 N,K ,请计算下面这个式子:
∑Ni=1∑Nj=1sgcd(i,j)k ∑ i = 1 N ∑ j = 1 N s g c d ( i , j ) k
其中,sgcd(i, j)表示(i, j)的所有公约数中第二大的,特殊地,如果gcd(i, j) = 1, 那么sgcd(i, j) = 0。
考虑到答案太大,请输出答案对2^32取模的结果.
1≤N≤109,1≤K≤50
样例解释:
因为gcd(i, j)=1时sgcd(i,j)=0对答案没有贡献,所以我们只考虑gcd(i,j)>1的情况.
当i是2时,j是2时,sgcd(i,j)=1,它的K次方是1
当i是2时,j是4时,sgcd(i,j)=1,它的K次方是1
当i是3时,j是3时,sgcd(i,j)=1,它的K次方是1
当i是4时,j是2时,sgcd(i,j)=1,它的K次方是1
当i是4时,j是4时,sgcd(i,j)=2,它的K次方是8
当i是5时,j是5时,sgcd(i,j)=1,它的K次方是1
解题思路
设minp(x)表示x最小的质因子（当x等于1时，minp(x)为0，当x质数时，minp(x)为1）。
于是
∑ni=1∑nj=1sgcd(i,j)k ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n s g c d ( i , j ) k
=∑d=2ndminp(d)∑⌊nd⌋i=1∑⌊nd⌋j=1[sgcd(i,j)==1] = ∑ d = 2 n d m i n p ( d ) ∑ i = 1 ⌊ n d ⌋ ∑ j = 1 ⌊ n d ⌋ [ s g c d ( i , j ) == 1 ]
=∑d=2ndminp(d)(2∑⌊nd⌋i=1φ(i)−1) = ∑ d = 2 n d m i n p ( d ) ( 2 ∑ i = 1 ⌊ n d ⌋ φ ( i ) − 1 )
对于 phi(i) p h i ( i ) 的前缀和就可以直接杜教筛。
至于如何求出 dminp(d) d m i n p ( d ) ，
当 d>n−−√且d为质数 d > n 且 d 为 质 数 时， dminp(d) d m i n p ( d ) 为1。
这个就可以通过求 >n−−√ > n 的质数来得出。
我们设
F(i,j)表示在[1,j]中，不能被前i个质数整除的数的K次方和 F ( i , j ) 表 示 在 [ 1 , j ] 中 ， 不 能 被 前 i 个 质 数 整 除 的 数 的 K 次 方 和
H(i,j)表示在[1,j]中，不能被前i个质数整除的数的个数 H ( i , j ) 表 示 在 [ 1 , j ] 中 ， 不 能 被 前 i 个 质 数 整 除 的 数 的 个 数
G(i,j)表示所有x∈[1,j],minp(x)≤pi,dminp(d)K的和 G ( i , j ) 表 示 所 有 x ∈ [ 1 , j ] , m i n p ( x ) ≤ p i , d m i n p ( d ) K 的 和
于是，我们可以的出一个递推式
F(i,j)=F(i−1,j)−pkiF(i−1,⌊jpi⌋) F ( i , j ) = F ( i − 1 , j ) − p i k F ( i − 1 , ⌊ j p i ⌋ )
H(i,j)=H(i−1,j)−H(i−1,⌊jpi⌋) H ( i , j ) = H ( i − 1 , j ) − H ( i − 1 , ⌊ j p i ⌋ )
G(i,j)=G(i−1,j)+F(i−1,⌊jpi⌋) G ( i , j ) = G ( i − 1 , j ) + F ( i − 1 , ⌊ j p i ⌋ )
答案就是 H(n−−√以内质数个数,n)+G(n−−√以内质数个数,n) H ( n 以 内 质 数 个 数 , n ) + G ( n 以 内 质 数 个 数 , n )
然后我们发现，当 pi>j p i > j 时，F(i,j)=1,H(i,j)=1;
当 p2i>j p i 2 > j 时
F(i,j)=F(i−1,j)−pki F ( i , j ) = F ( i − 1 , j ) − p i k
H(i,j)=H(i−1,j)−1 H ( i , j ) = H ( i − 1 , j ) − 1
G(i,j)=G(i−1,j)+1 G ( i , j ) = G ( i − 1 , j ) + 1
因为j只有 n−−√ n 种取值，我们直接预处理出每种取值，然后直接递推。
#include s[i][j]=s[i-1][j-1]+s[i-1][j]*(i-1);
}
uint get_P(uint n,uint k)
{
uint val=1;
for(uint i=n;i>=n-k+1;i--)
if(i%k==0) val*=i/k;
else val*=i;
return val;
}
void pre()
{
for(uint i=1,last=1;i<=n;i=last+1) last=n/(n/i),_n[++num]=n/i;
reverse(_n+1,_n+1+num);
pre_P(),pre_STR();
for(int i=1;i<=num;i++)
{
H[i]=_n[i];
if(_n[i]<=qn)
{
F[i]=Smi[_n[i]];
continue;
}
S[0]=_n[i];
for(int k=1;k<=m;k++)
{
S[k]=get_P(_n[i]+1,k+1);
for(int j=0;j1?-1:1)*s[k][j]*S[j];
}
F[i]=S[m];
}
}
uint get_F(long long i,long long j)
{
long long k;
k=j<=qn?j:(num-n/j+1);
return (!i || sqr(p[i])<=j)?F[k]:(p[i]<=j?(F[k]-smi[i]+smi[lu[k]]):1);
}
uint get_H(long long i,long long j)
{
long long k;
k=j<=qn?j:(num-n/j+1);
return (!i || sqr(p[i])<=j)?H[k]:(p[i]<=j?(H[k]-i+lu[k])%mo:1);
}
uint Sphi(int n)
{
if(n<=qn) return phi[n];
if(nphi[nn/n]) return nphi[nn/n];
uint ans=(n&1)?((n+1)>>1)*n:(n>>1)*(n+1);
for(int i=2,last=1;i<=n;i=last+1)
{
last=n/(n/i);
ans-=Sphi(n/i)*(last-i+1);
}
return nphi[nn/n]=ans;
}
int main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&m),qn=sqrt(n);
pre();
for(int i=1;i<=p[0];i++)
{
for(int j=num;j>=1;j--)
{
F[j]-=mi[p[i]]*get_F(i-1,_n[j]/p[i]);
G[j]+=get_F(i-1,_n[j]/p[i]);
H[j]-=get_H(i-1,_n[j]/p[i]);
lu[j]=i;
if(i==p[0] || sqr(p[i+1])>_n[i])
v1[j]=G[j]+H[j]-1;
if(sqr(p[i])>_n[j-1])
{
v1[j]=G[j]+H[j]-1;
break;
}
}
}
v1[2]=1;
if(_n[3]==3) v1[3]=2;
ans=0;
nn=n;
for(int i=2;i<=num;i++)
ans=ans+(v1[i]-v1[i-1])*(2*Sphi(n/_n[i])-1);
cout<return 0;
}