学习笔记---高等数学前置知识---乘法公式与因式分解

乘法公式

平方差公式：

算式①：a^2-b^2=(a+b)(a-b).

完全平方公式：

算式①：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2.

算式②：a^2-2ab+b^2=(a-2)^2.

算式③：(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc).

算式④：(a-b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(-ab+ac-bc).

算式⑤：(a+b)^3=a^3+3(a^2)(b)+3(a)(b^2)+b^3.

算式⑥：(a-b)^3=a^3-3(a^2)(b)+3(a)(b^2)-b^3.

注：将符号看成未知数的一部分，代入算式①，得到算式②。代入算式③，得到算式④。代入算式⑤，得到算式⑥。

立方差公式：

算式①：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).

算式②：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).

算式③：a^n-b^n=(a-b)(a^(n-1)+(a^(n-2))(b)+...+(a)(b^(n-2))+b^(n-1)).

算式④：a^n-1=(a-1)(a^(n-1)+a^(n-2)+a^(n-3)+...+a^2+a+1).

注：算式③是算式①、②的通式。算式④是将算式③中的b使用1代入。

例题（因公式皆简单，故只做简略示范）：

1.

(2x+3)^2

=(2x)^2+2(2x)(3)+3^2

=4x^2+12x+9.

2.

(3x-4y)(9x^2+12xy+16y^2)

=(3x)^3-(4y)^3

=27x^3-64y^3.

因式分解

提取公因式法：提取字母的最低次幂；提取系数的最大公约数。

套公式法：尝试套用以上公式。

十字相乘法：最重要的方法

图例：

对于算式x^2+(c1+c2)x+c1c2.

取x^2拆分为x*x。取c1c2拆分为c1*c2

计算x*c2+x*c1。发现其值等于算式中间的数(c1+c2)x。

则可将该算式分解为：(x+c1)(x+c2)

注：对于一个算式能否使用十字相乘法拆分。可以计算该算式的b^2-4ac是否是平方数。如果是平方数。则必定可分解。

例题：

1.

2x^2+11x+15

计算b^2-4ac=11^2-4*2*15=121-120=1=1*1是平方数

则用十字相乘法：11x=(2x*3)+(x*5)

因此算式可分解为：(2x+5)(x+3)

2.

6x^2-7x-20

计算b^2-4ac=(-7)^2-4*6*(-20)=529=23*23是平方数

则用十字相乘法：-7x=(2x*4)+(3x*(-5))

因此算式可分解为：(2x-5)(3x+4)

3.

x^2+x+1

计算b^2-4ac=1-4*1*1=-3不是平方数

则不可用十字相乘法。

同时观察得无法代入公式。

则提取公因式得：x(x+1)+1