【 2016北京集训测试赛（十七）】crash的游戏【组合数】【斯特林数】

题意：求
$$\sum _{i=0}^m{C}_m^i\times C_{n+2i-m}^k$$
其中$n,m\le 10^9$，$k\le 300$。共$T$组数据，$T\le 500$。
题解：
推式子！
首先，我们想到
$$C_x^k=\prod _{i=0}^{k-1}\frac{x-i}{k-i}$$
如果$k$是一个常数，那么$C_x^k$可以表示成一个以$x$为未知数的$k$次多项式。
所以我们可以令
$$C_x^k=\sum _{i=1}^k{a}_i{x}^i$$
因为每组数据的$k$都是给定的，所以我们可以在$O(k^2)$的时间内算出$a$。
${\sum }_{i=0}^m{C}_m^i\times C_{n+2i-m}^k$
$={\sum }_{i=0}^m\times {\sum }_{j=1}^k{a}_j\times (n+2i-m{)}^j$
$={\sum }_{j=1}^k{a}_j{\sum }_{i=0}^m(n+2i-m{)}^j$
我们二项式展开一下。
$={\sum }_{j=1}^k{a}_j{\sum }_{i=0}^m{\sum }_{t=0}^j{C}_j^t(n-m{)}^t(2i{)}^{j-t}$
$={\sum }_{j=1}^k{a}_j{\sum }_{t=0}^j{C}_j^t(n-m{)}^t\times 2^{j-t}{\sum }_{i=0}^m{C}_m^i\times i^{j-t}$
我们令$f(n,k)={\sum }_{i=0}^n{C}_n^i\times i^k$
则原式
$={\sum }_{j=1}^k{a}_j{\sum }_{t=0}^j{C}_j^t(n-m{)}^t\times 2^{j-t}f(m,j-t)$。
我们看一看怎么求$f$。
$f(n,k)={\sum }_{i=0}^n{C}_n^i\times i^k$
$={\sum }_{i=0}^n{C}_n^i\times {\sum }_{j=0}^{k}s(k,j)\times C_i^j\times j!$，$s(k,j)$为第二类斯特林数。
$={\sum }_{j=0}^{k}s(k,j)\times j!{\sum }_{i=0}^n{C}_n^i\times C_i^j$
$={\sum }_{j=0}^{k}s(k,j)\times j!C_n^j\times 2^{n-j}$。
其中$C_n^i\times C_i^j$就相当于先选$j$个，剩下的随便选。
于是就可以预处理一下，愉快地计算啦！
总时间复杂度$O(T{k}^2)$。

#include #include #include using namespace std; const int N=305,mod=1000000007,inv2=500000004; int t,n,m,k,s[N][N],a[N],jc[N],C[N][N],c[N],f[N],tmp[N]; int fastpow(int a,int x){ int res=1; while(x){ if(x&1){ res=1LL*res*a%mod; } x>>=1; a=1LL*a*a%mod; } return res; } int main(){ C[0][0]=s[0][0]=1; for(int i=1;i<=300;i++){ C[i][0]=1; for(int j=1;j<=i;j++){ C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod; s[i][j]=(s[i-1][j-1]+1LL*s[i-1][j]*j)%mod; } } scanf("%d",&t); while(t--){ scanf("%d%d%d",&n,&m,&k); memset(a,0,sizeof(a)); memset(f,0,sizeof(f)); jc[0]=c[0]=1; for(int i=1;i<=k;i++){ jc[i]=1LL*jc[i-1]*i%mod; c[i]=1LL*c[i-1]*(m-i+1)%mod*fastpow(i,mod-2)%mod; } f[0]=fastpow(2,m); for(int i=1;i<=k;i++){ for(int j=0,base=f[0];j<=i;j++,base=1LL*base*inv2%mod){ f[i]=(f[i]+1LL*s[i][j]*jc[j]%mod*c[j]%mod*base)%mod; } } a[0]=1; for(int i=0;i<k;i++){ tmp[0]=0; for(int j=1;j<=i+1;j++){ tmp[j]=(a[j-1]-1LL*i*a[j]%mod+mod)%mod; } for(int j=0;j<=i+1;j++){ a[j]=tmp[j]; } } for(int i=1;i<=k;i++){ a[i]=1LL*a[i]*fastpow(jc[k],mod-2)%mod; } int ans=0; for(int i=1;i<=k;i++){ for(int j=0,b1=1,b2=fastpow(2,i);j<=i;j++,b1=1LL*b1*(n-m)%mod,b2=1LL*b2*inv2%mod){ ans=(ans+1LL*a[i]*C[i][j]%mod*b1%mod*b2%mod*f[i-j])%mod; } } printf("%d\n",ans); } return 0; }