图解算法学习笔记(四):快速排序

目录

1) 示例1:

2)快速排序

3) 再谈大O表示法

4)小结

本章内容:学习分而治之,快速排序

1) 示例1:

假设你是农场主,有一小块土地,你要将这块地均匀分成方块,且分出的方块尽可能大。如何分?

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你要将这块地均匀分成方块,且分出的方块要尽可能大。显然,下面的分法不符合要求。

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此时,你应该使用D&C策略(divide and conquer)。包括两步骤:

(1) 找出基线条件,这种条件必须尽可能简单。

(2)不断将问题分解(或者说缩小规模),直到符合基线条件。

下面就来使用D&C找出问题的解决方案。首先,找出基线条件。最容易处理的情况是,一条边的长度是另一边的整数倍。

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现在找出递归条件,这正是D&C的用武之地。每次递归都必须缩小问题的规模,如何缩小问题的规模呢,首先,找出这块地可容纳的最大方块。

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如图,划出了两个方块,同时余下一小块地。现在是顿悟时刻,何不对余下的那一小块地使用相同的算法呢?

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这里有一个关键的地方,就是适用于这小快地的最大方块,也是适用于整块地的最大方案。感兴趣的可以查查欧几里得算法。

https://www.khanacademy.org/computing/computer-science/cryptography/modarithmetic/a/the-euclidean-algorithm

接下来就是使用同样算法。直到余下土地为方块。

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现在我们找到了最大方块,如下图:

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2)快速排序

快速排序是一种常用的排序算法,比选择排序快得多,例如,C语言标准库的函数qsort实现的就是快速排序。

对排序算法来说,最简单的数组什么样呢?就是根本不需要排序的数据。

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因此,基线条件为数组为空或只包含一个元素。在这种情况,只需返回数组:

def quicksort(array):
    if len(array) < 2:
        return array

我们来看更长的数组。对包含两个元素的数组进行排序也很容易:

包含三个元素呢?

现在介绍快速排序的工作原理:首先,从数组中选择一个元素,这个元素被称为基准值(pivot).

我们暂时将数组的第一个元素用作基准值.接下来,找出比基准值小的元素以及比基准值大的元素。

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这被称为分区(partitioning)。这里只进行了分区,得到的两个子数组是无序的。如何对子数组进行排序呢?对于包含两个元素的数组以及空数组,快速排序知道如何将它们排序。因此对这两个子数组进行快速排序,再合并结果,就得到一个有序数组!

quicksort([15, 10]) + [33] + quicksort([])
> [10, 15, 33]

现在我们知道了如何对包含三个元素的数组进行排序了:

(1)选准基准值。

(2)将数组分成两个子数组:小于基准值的元素和大于基准值的元素。

(3)对这两个子数组进行快速排序。

下面是快速排序的代码:

def quicksort(array):
    if len(array) < 2:
        return array
    else:
        pivot = array[0]
        less = [i for i in array if i<= pivot]
        greater = [i for in array if i > pivot]
        return quicksort(less) + [pivot] + quicksort(greater)

 

3) 再谈大O表示法

我们再来看看常见的大O运行时间:

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这里需要说明的是,在平均情况下,快速排序的运行时间为O(n logn)。

快速排序的性能高度依赖于你选择的基准值。来看下面这样一个有序数组,每次都选择第一个元素为基准值,来看看快速排序过程,

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现在选择中间元素作为基准值,看看排序过程:

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第一个示例展示的是最糟情况,栈长为O(n),第二个示例展示的是最佳情况,栈长为O(log n)。与此同时,在调用栈的每层都涉及全部8个元素,操作数为O(n)。

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现在可以得出快速排序的运行时间为O(n logn)(最佳情况),最佳情况也是平均情况。

4)小结

  • D&C将问题逐步分解,使用D&C处理列表时,基线条件很可能是空数组或只包含一个元素的数组;
  • 实现快速排序时,请随机选地选择用做基准值的元素,快速排序的平均运行时间为O(n log n);
  • 大O表示法中的常量有时候事关重大,这就是快速排序比合并排序快的原因所在;
  • 比较简单查找和二分查找时,常量几乎无关紧要,因为列表很长时,O(log n)的速度为O(n)块很多。

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