差分格式的傅里叶稳定性分析方法
差分格式的傅里叶稳定性分析方法
以下格式的傅里叶稳定性分析
u j n + 1 − u j n Δ t = θ ν u j + 1 n + 1 − 2 u j n + 1 + u j − 1 n + 1 Δ x 2 + ( 1 − θ ) ν u j + 1 n − 2 u j n + u j − 1 n Δ x 2 \frac{u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{\Delta t}=\theta \nu \frac{u_{j+1}^{n+1}-2 u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{\Delta x^{2}}+(1-\theta) \nu \frac{u_{j+1}^{n}-2 u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}}{\Delta x^{2}} Δtujn+1−ujn=θνΔx2uj+1n+1−2ujn+1+uj−1n+1+(1−θ)νΔx2uj+1n−2ujn+uj−1n
这是对于一维常系数扩散方程（ ν > 0 \nu > 0 ν>0）
∂ u ∂ t = ν ∂ 2 u ∂ x 2 , x ∈ R , t > 0 \frac{\partial u}{\partial t}=\nu \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}, \quad x \in \mathbf{R}, \quad t>0 ∂t∂u=ν∂x2∂2u,x∈R,t>0
的一个差分格式。
这个格式叫做加权隐式格式，也就是传说中的 θ \theta θ格式，它是向前显式和向后隐式格式的加权组合。
这个格式关于空间是二阶的，在 θ ≠ 1 2 \theta \neq \frac{1}{2} θ̸=21的时候，关于时间是一阶的， θ = 1 2 \theta = \frac{1}{2} θ=21的时候，关于时间也是二阶的，这个时候，我们一般称之为Crank-Nicolson格式或者CN格式。
我们用傅里叶分析方法（也叫Von Neumann分析方法）来分析这个格式的稳定性，将
u j n = u ^ n ( ξ ) e i j σ Δ x u_{j}^{n}=\hat{u}^{n}(\xi) e^{i j \sigma \Delta x} ujn=u^n(ξ)eijσΔx
代入上式，可以得到：
u ^ n + 1 ( ξ ) = G ( Δ t , σ ) u ^ n ( ξ ) \hat{u}^{n+1}(\xi) = G(\Delta t, \sigma)\hat{u}^{n}(\xi) u^n+1(ξ)=G(Δt,σ)u^n(ξ)
（当然，也可以将 j j j作为基准，代入，即令： u j + m n = u ^ n ( ξ ) e i m σ Δ x u_{j+m}^{n}=\hat{u}^{n}(\xi) e^{i m \sigma \Delta x} uj+mn=u^n(ξ)eimσΔx。）
其中，增长因子（传播因子） G ( Δ t , σ ) G(\Delta t, \sigma) G(Δt,σ)为：
G ( Δ t , σ ) = 1 − 4 ( 1 − θ ) ν r sin 2 σ Δ x 2 1 + 4 θ ν r sin 2 σ Δ x 2 G(\Delta t, \sigma)=\frac{1-4(1-\theta) \nu r \sin ^{2} \frac{\sigma \Delta x}{2}}{1+4 \theta \nu r \sin ^{2} \frac{\sigma \Delta x}{2}} G(Δt,σ)=1+4θνrsin22σΔx1−4(1−θ)νrsin22σΔx
其中， r = Δ t / Δ x 2 r = \Delta t/\Delta x^2 r=Δt/Δx2。令
∣ G ( Δ t , σ ) ∣ ⩽ 1 |G(\Delta t, \sigma)| \leqslant 1 ∣G(Δt,σ)∣⩽1
可得：
− 1 ⩽ 1 − 4 ( 1 − θ ) ν r sin 2 σ Δ x 2 1 + 4 θ ν r sin 2 σ Δ x 2 ⩽ 1 -1 \leqslant \frac{1-4(1-\theta) \nu r \sin ^{2} \frac{\sigma \Delta x}{2}}{1+4 \theta \nu r \sin ^{2} \frac{\sigma \Delta x}{2}} \leqslant 1 −1⩽1+4θνrsin22σΔx1−4(1−θ)νrsin22σΔx⩽1
解之，可得 θ \theta θ格式的稳定性条件为：
{ r ⩽ 1 2 ν ( 1 − 2 θ ) 0 ⩽ θ < 1 2 无 条 件 稳 定 1 2 ⩽ θ ⩽ 1 \left\{ \begin{array}{cc} {r \leqslant \frac{1}{2 \nu(1-2 \theta)}} & {0 \leqslant \theta<\frac{1}{2}} \\ {无条件稳定} & {\frac{1}{2} \leqslant \theta \leqslant 1} \end{array} \right. {r⩽2ν(1−2θ)1无条件稳定0⩽θ<2121⩽θ⩽1
事实上，令 a = 4 ( 1 − θ ) ν r > 0 a=4(1-\theta) \nu r>0 a=4(1−θ)νr>0，令 b = 4 θ ν r > 0 b=4 \theta \nu r > 0 b=4θνr>0， x = sin 2 σ Δ x 2 x=\sin ^{2}\frac{\sigma \Delta x}{2} x=sin22σΔx，求导易知 1 − a x 1 + b x \frac{1-ax}{1+bx} 1+bx1−ax 关于 x x x是严格单减的，当 x = 1 x=1 x=1时，条件满足，所以我们只要令 1 − a 1 + b ≥ − 1 \frac{1-a}{1+b}\ge-1 1+b1−a≥−1即可。由 2 + b − a ≥ 0 2+b-a\ge 0 2+b−a≥0，可得 2 ( 1 − 2 θ ) ν r ≤ 1 2(1-2\theta)\nu r\leq 1 2(1−2θ)νr≤1，对 θ \theta θ分类讨论，即得以上结果。