全连接层解析（一）

            ## inner_product_layer理论研究 ##

1. 全连接实现形式

内积实现形式

对于全连接来说，神经网络里的全连接是在全连接层实现的，实际实现的本质是两个向量的内积，即：两个行向量：x=（x0，x1,x2，x3，x4，x5,x6,x7,x8,x9），w=（w0，w1，w2，w3,w4,w5,w6,w7,w8,w9），w*x=x0*w0+x1*w1+x2*w2+x3*w3+x4*w4+x5*w5+x6*w6+x7*w7+x8*w8+x9*w9;

若x为N*1,w为M*N，内积w*x为M维.实际上内积实现的全连接层实际上就是一个参数矩阵W与输入的N维向量X之间做矩阵想乘。
可是全连接层的实现形式可不仅仅就这一种，当然，caffe里的实现形式是内积实现的全连接，但是还有一种更普遍的实现形式，那就是卷积实现全连接。

卷积实现全连接

谈到卷积实现全连接可能有点生疏，起码我是生疏的，所以做总结如下，为了自己回头翻看的时候可以更容易想起来。实际上，内积是卷积的一种特例，为什么这么说呢？上述提到的内积形式：x=（x0，x1,x2，x3，x4，x5,x6,x7,x8,x9），w=（w0，w1，w2，w3,w4,w5,w6,w7,w8,w9），w*x=x0*w0+x1*w1+x2*w2+x3*w3+x4*w4+x5*w5+x6*w6+x7*w7+x8*w8+x9*w9;
由加法的结合律，得：w*x=（x0*w0+x1*w1+x2*w2）+（x3*w3+x4*w4+x5*w5）+（x6*w6+x7*w7+x8*w8+x9*w9）;写成了三个小的内积之和，然后这不就是
输入X= x0 x1 x2 和 卷积核W= w0 w1 w2 之间
x3 x4 x5 w3 w4 w5
x6 x7 x8 w6 w7 w8
的卷积吗？

将上面两种方式之间的障碍转换一下，比如一个25*3*3的输入，卷积核为M*25*3*3，则输出为M*1*1，现在我们将输入flatten一下，特征个数没变还是25*3*3，没个卷积核flatten一行，则内积之后是M*1。注意：卷积核的长和宽一定要和输入的长和宽保持一致。

• 两种实现

实际上，这两种实现形式的区别在于应用场景不同，举个例子：
比如输入x为：3*100*100，pad=1，经过卷积核25*3*3*3，pad=1，则经过卷积的特征图大小为：25*100*100，后再经过一个内积实现的全连接，全连接的输出为2，则全连接层的参数维度为25*100*100*2，如果输入此时变成3*200*200呢？第一层的卷积还可以算，卷积核为25*3*3*3，pad=1，输出：25*200*200，但是接下来的全连接层呢？此时由于输入维度和参数维度不一样，不能实现内积，所以由内积实现的全连接层，输入是不允许发生改变的。但如果此时用卷积实现全连接层呢？情况如何？则情况发生了改变，输入变为25*200*200，经过2*25*100*100，pad=0，则2*101*101。

应用场景：滑动窗口检测：

比如一幅图像大小：3*200*200，图像里有一个西瓜，西瓜直径为100个像素，那么如何检测西瓜的位置？

思路：在200*200的图像里抠出一个100*100的图像块，那么有多少个位置需要判断呢？当然抠出的可能性有101*101种，也就是说需要做101*101次判断此处是不是西瓜，每次都是一个3*100*100的块。显然，3*200*200是图像，100*100是卷积核，则输出为101*101个位置，若卷积核大小为2*25*100*100，那么输出2*101*101，但是问题来了，这样在卷积核的滑动过程中，会出现大量的重复计算，若卷积核在（0,1）位置上进行卷积，下一次滑动到（0，2）位置上进行卷积，那么由于卷积核大小为100*100，则第二次运算和第一次运算有100*99是重复的，那么就会造成大量的冗余计算，那为什么不一次卷积实现此过程呢？即输入3*200*200，直接先卷积一次，经过卷积核25*3*3*3，输出为 25*200*200，在此基础上进行取块，25*100*100，是一样的，但是还是存在一个计算次数冗的问题，那么何不用卷积层去实现全连接层一次分类呢。此时的全连接层输入是25*200*200，直接用卷积核2*25*100*100，即输出2*101*101，一次完成所有计算。就是这么神奇。

• 小结：再次感谢来自北邮的志轩同学的讲解，在检测这块我问他都问的我自己都烦了，如果是别人这么问我我可能就讲疯了，感谢他严谨的科研态度和不厌其烦的回答我的疑问。有些东西你第一回看就是看的头大，回头多想想，多看几次，便恍如隔世啊。