点双连通分量定义与性质:
1. 对于点双联通分量,删除任意一点连通性不变,其中不含桥,环与环必定含有公共边,且公共点至少两个,简单圈中的点一定属于同一个点BCC。
原理,通过两个标记数组来判别割点,并在dfs过程中用栈来记录每个双联通分量(或是强连通分量)中的点,最后按这些记录缩点建图后是森林。
两个标记数组分别是 dfn[] low[]
dfn[]数组记录的是,在dfs树中,某点在dfs过程中此点出现的早晚,越小出现的越早
low[]数组表示此点及其后代能回到的标号(dfn)最小的点,即此点或其后代能回到的最浅的点(dfs树中)。
初始节点需要两个以上儿子且dfn[root]<=low[v] 才是割点
有上述两个数组定义可知:对于某点root,其有一儿子v,则有:
1. 如果dfn[root]<=low[v]此点是割点(对于dfs树的根,即最初节点需要两个儿子才是割点)
2. 如果dfn[root]
缩点建图
点BCC缩点建图后成森林,原来的点被保留,BCC与BCC之间必定经过割点,割点与割点不会直连(不能用来判桥,因为桥会缩成BCC),除了割点的原来的点只有一条边,且连着其属于的BCC。
部分代码:
#include
#include
#include
#define N 105
#define M 105*105
using namespace std;
struct edge
{
int to,next;
edge(){}
edge(int to,int next)
{
this->to=to;
this->next=next;
}
}ed[M];
int head[N],lnum,esum,index,top,bccnum;
int dfn[N],low[N],mark[M],bj[N],st[M],belong[M],isCut[N];
pairE[M];
void addline(int from,int to)
{
ed[lnum]=edge(to,head[from]);
head[from]=lnum++;
}
void tarjan(int root,int fa){//有自环时不加自环的边
//点双连通缩点方法:清空路径,枚举E[]数组中存储的路径,建立双向边。
dfn[root]=low[root]=++index; //新点初始化
int child=0;
//初始节点需要两个以上儿子且dfn[root]<=low[v] 才是割点
for(int i=head[root];~i;i=ed[i].next){ //遍历root指出去的边
int v=ed[i].to;
if(mark[i]) continue;
mark[i]=mark[i^1]=1;
st[++top]=i;//边入栈,需注意此语句要放在判continue之后
if(!dfn[v]){ //如果v节点未去过,搜索v节点
child++;
tarjan(v,root);
low[root]=min(low[root],low[v]); //更新low值
if(dfn[root]<=low[v]){
isCut[root]=1; //此点是割点,需注意初始节点要有两个儿子
bccnum++;//注意这里是N++,建数组时要注意开至少两倍大
for(;;){
int j=st[top--];
//bj[]数组用来标记节点所属的bcc,割点会改变,无意义
//E[]存新图的边,esum是其数量,tarjan结束后建双向边
if(bj[ed[j].to]!=bccnum){
bj[ed[j].to]=bccnum;
E[++esum]=make_pair(ed[j].to,bccnum);
}
if(bj[ed[j^1].to]!=bccnum){
bj[ed[j^1].to]=bccnum;
E[++esum]=make_pair(ed[j^1].to,bccnum);
}
belong[(j>>1)+1]=bccnum;//标记边所属的bcc
if(i==j)break;
}
}
}
else low[root]=min(low[root],dfn[v]);
//与有向图区分,此处else不需要判别v节点是否在栈内
}
if(root==fa && child<2)isCut[root]=0;
//如果初始节点没有2个以上儿子,标记清0
}
void init()
{
memset(head,-1,sizeof(head));
memset(dfn,0,sizeof(dfn));
memset(low,0,sizeof(low));
memset(mark,0,sizeof(mark));
memset(belong,0,sizeof(belong));
memset(isCut,0,sizeof(isCut));
top=0;
lnum=0;
index=0;
bccnum=0;
esum=0;
}