模拟退火算法

在实际日常中，人们会经常遇到如下问题：在某个给定的定义域 X X 内，求函数 f(x) f ( x ) 对应的最优值。此处以最小值问题举例（最大值问题可以等价转化成最小值问题），形式化为：

minx∈Xf(x). min x ∈ X f ( x ) .

如果 X X 是离散有限取值，那么可以通过穷取法获得问题的最优解；如果 X X 连续，但 f(x) f ( x ) 是凸的，那可以通过梯度下降等方法获得最优解；如果 X X 连续且 f(x) f ( x ) 非凸，虽说根据已有的近似求解法能够找到问题解，可解是否是最优的还有待考量，很多时候若初始值选择的不好，非常容易陷入局部最优值。

随着日常业务场景的复杂化，第三种问题经常遇见。如何有效地避免局部最优的困扰？模拟退火算法应运而生。其实模拟退火也算是启发式算法的一种，具体学习的是冶金学中金属加热-冷却的过程。由S.Kirkpatrick, C.D.Gelatt和M.P.Vecchi在1983年所发明的，V.Čern在1985年也独立发明此演算法。

不过模拟退火算法到底是如何模拟金属退火的原理？主要是将热力学的理论套用到统计学上，将搜寻空间内每一点想像成空气内的分子；分子的能量，就是它本身的动能；而搜寻空间内的每一点，也像空气分子一样带有“能量”，以表示该点对命题的合适程度。演算法先以搜寻空间内一个任意点作起始：每一步先选择一个“邻居”，然后再计算从现有位置到达“邻居”的概率。若概率大于给定的阈值，则跳转到“邻居”；若概率较小，则停留在原位置不动。

一、模拟退火算法基本思想

模拟退火其实也是一种贪心算法，但是它的搜索过程引入了随机因素。在迭代更新可行解时，以一定的概率来接受一个比当前解要差的解，因此有可能会跳出这个局部的最优解，达到全局的最优解。以下图为例，假定初始解为左边蓝色点A，模拟退火算法会快速搜索到局部最优解B，但在搜索到局部最优解后，不是就此结束，而是会以一定的概率接受到左边的移动。也许经过几次这样的不是局部最优的移动后会到达全局最优点D，于是就跳出了局部最小值。

根据热力学的原理，在温度为 T T 时，出现能量差为 dE d E 的降温的概率为 p(dE) p ( d E ) ，表示为:

p(dE)=exp(dEkT). p ( d E ) = exp ⁡ ( d E k T ) .

其中 k k 是波尔兹曼常数，值为 k=1.3806488(13)×10−23 k = 1.3806488 ( 13 ) × 10 − 23 ， exp exp 表示自然指数，且 dE<0 d E < 0 。因此 dE/kT<0 d E / k T < 0 ，所以 p(dE) p ( d E ) 函数的取值范围是(0,1)。满足概率密度函数的定义。其实这条公式更直观意思就是：温度越高，出现一次能量差为 p(dE) p ( d E ) 的降温的概率就越大；温度越低，则出现降温的概率就越小。

在实际问题中，这里的“一定的概率”的计算参考了金属冶炼的退火过程。假定当前可行解为 x x ，迭代更新后的解为 x_new x _ n e w ，那么对应的“能量差”定义为：

Δf=f(x_new)−f(x). Δ f = f ( x _ n e w ) − f ( x ) .

其对应的“一定概率”为：

p(Δf)=⎧⎩⎨exp(−ΔfkT)exp(ΔfkT)最小值优化问题最大值优化问题 p ( Δ f ) = { exp ⁡ ( − Δ f k T ) 最 小 值 优 化 问 题 exp ⁡ ( Δ f k T ) 最 大 值 优 化 问 题

注：在实际问题中，可以设定 k=1 k = 1 。因为 kT k T 可以等价于一个参数 T T 。如设定 k=2 k = 2 、 T=1000 T = 1000 ，等于直接设定 T=2000 T = 2000 的效果。

二、模拟退火算法描述

1. 初始化：初始温度 T T （充分大），温度下限 Tmin T m i n （充分小），初始解状态 x x (是算法迭代的起点)，每个 T T 值的迭代次数 L L ；
2. 对 l=1,2,...,L l = 1 , 2 , . . . , L 做第3至第6步；
3. 产生新解 x_new x _ n e w : ( x_new=x+Δx x _ n e w = x + Δ x )；
4. 利计算增量 Δf=f(x_new)−f(x) Δ f = f ( x _ n e w ) − f ( x ) ，其中 f(x) f ( x ) 为优化目标；
5. 若 Δf<0 Δ f < 0 (若寻找最大值， Δf>0 Δ f > 0 )则接受 x_new x _ n e w 作为新的当前解，否则以概率 exp(−Δf/(kT)) exp ⁡ ( − Δ f / ( k T ) ) 接受 x_new x _ n e w 作为新的当前解；
6. 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。(终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。)；
7. T T 逐渐减少，且 T>Tmin T > T m i n ，然后转第2步。

三、模拟退火算法的优缺点

模拟退火算法的应用很广泛，可以高效地求解NP完全问题，如货郎担问题(Travelling Salesman Problem，简记为TSP)、最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)等等，但其参数难以控制，不能保证一次就收敛到最优值，一般需要多次尝试才能获得（大部分情况下还是会陷入局部最优值）。观察模拟退火算法的过程，发现其主要存在如下三个参数问题：

　　(1) 温度T的初始值设置问题
　　温度 T T 的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高，则搜索到全局最优解的可能性大，但因此要花费大量的计算时间；反之，则可节约计算时间，但全局搜索性能可能受到影响。

　　(2) 退火速度问题，即每个 T T 值的迭代次数
　　模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说，同一温度下的“充分”搜索是相当必要的，但这也需要计算时间。循环次数增加必定带来计算开销的增大。

　　(3) 温度管理问题
　　温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一。实际应用中，由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题，常采用如下所示的降温方式：

T=α×T.α∈(0,1). T = α × T . α ∈ ( 0 , 1 ) .

注：为了保证较大的搜索空间， α α 一般取接近于1的值，如0.95、0.9。

四、模拟退火算法Python实战

经过上面理论知识的熏陶，相信大家已经对模拟退火算法有了较深入的理解，接下来通过实战再强化一下大家的认识，此处利用模拟退火算法求解如下优化问题：

minf(x)=(x−2)∗(x+3)∗(x+8)∗(x−9) min f ( x ) = ( x − 2 ) ∗ ( x + 3 ) ∗ ( x + 8 ) ∗ ( x − 9 )

# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def inputfun(x):
    return (x-2)*(x+3)*(x+8)*(x-9)

initT = 1000 #初始温度
minT = 1 #温度下限
iterL = 1000 #每个T值的迭代次数
delta = 0.95 #温度衰减系数
k = 1

initx = 10*(2*np.random.rand()-1)
nowt = initT
print "初始解：",initx

xx = np.linspace(-10,10,300)
yy = inputfun(xx)
plt.figure()
plt.plot(xx,yy)
plt.plot(initx,inputfun(initx),'o')

#模拟退火算法寻找最小值过程
while nowt>minT:
    for i in np.arange(1,iterL,1):
        funVal = inputfun(initx)
        xnew = initx+(2*np.random.rand()-1)
        if xnew>=-10 and xnew<=10:
            funnew = inputfun(xnew)
            res = funnew-funVal
            if res<0:
                initx = xnew
            else:
                p = np.exp(-(res)/(k*nowt))
                if np.random.rand()# print initx-xnew
# print initx
# print nowt
    nowt = nowt*delta

print "最优解：",initx
print "最优值：",inputfun(initx)
plt.plot(initx,inputfun(initx),'*r')
plt.show()

可以看到，即使初始解选取的有风险，模拟退火算法经过迭代，也可以成功跳出局部最优值，最终收敛到问题的全局最优。

参考资料

1. http://wiki.mbalib.com/wiki/模拟退火算法 模拟退火算法