背包问题总结

 

简单总结一下今天学的背包的相关知识，多有不足之处，还望谅解！！！

 

背包问题：

1. 部分背包问题

2. 0 1  背包问题

3. 完全背包问题

4. 多重背包问题

1.部分背包问题（可以只取物品的一部分放入背包）

        采用直观的贪心策略：优先放入''价量比''（价值除以质量）最大的，直到背包不能再放入（或物品已取完）。

2. 0 1 背包问题（每个物品只有两种情况 “放” 或 “不放” ）

         如果 j < w[ i ] , 则 dp[ i + 1 ][ j ] = dp[ i ][ j ]；否则 dp[ i + 1 ][ j ] =  max ( dp[ i ][ j ]， dp [i ][ j - w[ i ]] + v[ i ])

    方法1：（二维数组）

int dp[MAXN][MAXN];
for(int i=0; i

      方法2：（一维数组）

int dp[MAXN];
for(int i=0; i=w[i]; j--)
        dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
printf("%d\n",dp[W]);

 

3.完全背包问题（同一物品有无穷件）

    状态转移方程
     dp[ 0 ][ j ] = 0 ;

     dp[ i + 1 ][ j ] = max (dp[i][j - k * w[ i ] ] + k * v[ i ] )       (0 <= k * w[ i ] <= j )

    按照上述关系可以写出以下代码：（但是这个代码时间复杂度太高了O（n^3））

for(int i=0; i

        化简状态方程：

       化简后代码：（复杂度O(nW)）

       方法一：（二维数组）

for(int i=0; i

      方法二：（一维数组）

int dp[MAXN];
for(int i=0; i

4. 多重背包（同一物品有多件）

     状态转移方程
      dp[ i ][ j ] =  到第i 个物品为止总重量不超过j 的所有选法中最有可能的最大值
      dp[ i + 1 ][ j ] = max ( dp[ i ][ j ] - k * w[ i ] ] + k * v[ i ] )         （0 <= k <= m[ i ]）

      方法一：（复杂度为O(V Σ Mi ) ）

for(int i=0; i0; k< <=1)
    {
        int mul=min(k,num);
        for(int j=W; j>=w[i]*mul; j--)
        {
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]*mul]+v[i]*mul);
        }
        num -=mul;
    }
}
printf("%d\n",dp[W]);

     方法二：O（n * m * w）

for(int i = 0; i < n; i++)//n是物品的种类
{
    for(int k =1; k < m[i]; k++)//m[i]记录的是第i个物品的数量
    {
        for(int j = W; j >= w[i]; j--)//w[i]记录的是第i个物品的重量 W是背包的总容量
        {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);//v[i]记录的是第i个物品的价值
        }
    }

}

 

背包问题：

1. 部分背包问题    贪心

2. 0 1  背包问题    ( dp[ j ] = max(dp[ j ], dp[ j - w[ i ]] + v[ i ]) )    (j --)  路径记录

3. 完全背包问题    ( dp[ j ] = max(dp[ j ], dp[ j - w[ i ]] + v[ i ]) )    (j ++) 

4. 多重背包问题    ( dp[ j ] = max(dp[  j], dp[ j - w[ i ]] + v[ i ]) )  二进制拆分、可行性

 

 

 

 

 

 

C/C++，用 INF = 0x3f3f3f3f表示无穷大，MINN = 0xc0c0c0c0表示无穷小

 

 

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