经典算法题每日演练——第十五题 并查集

 这一篇我们看看经典又神奇的并查集，顾名思义就是并起来查，可用于处理一些不相交集合的秒杀。

一：场景 

   有时候我们会遇到这样的场景，比如:M={1,4,6,8},N={2,4,5,7}，我的需求就是判断{1,2}是否属于同一个集合，当然实现方法

有很多，一般情况下，普通青年会做出O(MN)的复杂度，那么有没有更轻量级的复杂度呢？嘿嘿，并查集就是用来解决这个问题的。

 

二：操作

  从名字可以出来，并查集其实只有两种操作，并(Union)和查(Find)，并查集是一种算法，所以我们要给它选择一个好的数据结构，

通常我们用树来作为它的底层实现。

1.节点定义

 1         #region 树节点
 2         /// 

 3         /// 树节点
 4         /// 
 5         public class Node
 6         {
 7             /// 

 8             /// 父节点
 9             /// 
10             public char parent;
11 
12             /// 

13             /// 节点的秩
14             /// 
15             public int rank;
16         }
17         #endregion

 

2.Union操作

 <1>原始方案

      首先我们会对集合的所有元素进行打散，最后每个元素都是一个独根的树，然后我们Union其中某两个元素，让他们成为一个集合，

 最坏情况下我们进行M次的Union时会存在这样的一个链表的场景。

从图中我们可以看到，Union时出现了最坏的情况，而且这种情况还是比较容易出现的，最终导致在Find的时候就相当寒酸苦逼了，为O(N)。

 

<2> 按秩合并

    我们发现出现这种情况的原因在于我们Union时都是将合并后的大树作为小树的孩子节点存在，那么我们在Union时能不能判断一下，

将小树作为大树的孩子节点存在，最终也就降低了新树的深度，比如图中的Union(D,{E,F})的时候可以做出如下修改。

可以看出，我们有效的降低了树的深度，在N个元素的集合中，构建树的深度不会超过LogN层。M次操作的复杂度为O(MlogN)，从代

码上来说，我们用Rank来统计树的秩，可以理解为树的高度，独根树时Rank=0，当两棵树的Rank相同时，可以随意挑选合并，在新

根中的Rank++就可以了。

 1 #region 合并两个不相交集合
 2         /// 

 3         /// 合并两个不相交集合
 4         /// 
 5         /// 
 6         /// 
 7         /// 
 8         public void Union(char root1, char root2)
 9         {
10             char x1 = Find(root1);
11             char y1 = Find(root2);
12 
13             //如果根节点相同则说明是同一个集合
14             if (x1 == y1)
15                 return;
16 
17             //说明左集合的深度 < 右集合
18             if (dic[x1].rank < dic[y1].rank)
19             {
20                 //将左集合指向右集合
21                 dic[x1].parent = y1;
22             }
23             else
24             {
25                 //如果 秩 相等，则将 y1 并入到 x1 中，并将x1++
26                 if (dic[x1].rank == dic[y1].rank)
27                     dic[x1].rank++;
28 
29                 dic[y1].parent = x1;
30             }
31         }
32         #endregion

 

 3.Find操作

   我们学算法，都希望能把一个问题优化到地球人都不能优化的地步，针对logN的级别，我们还能优化吗？当然可以。

 <1>路径压缩

     在Union和Find这两种操作中，显然我们在Union上面已经做到了极致，下面我们在Find上面考虑一下，是不是可以在Find上运用

伸展树的思想，这种伸展思想就是压缩路径。

从图中我们可以看出，当我Find(F)的时候，找到“F”后，我们开始一直回溯，在回溯的过程中给，把该节点的父亲指向根节点。最终

我们会形成一个压缩后的树，当我们再次Find(F)的时候，只要O(1)的时间就可以获取，这里有个注意的地方就是Rank，当我们在路

径压缩时，最后树的高度可能会降低，可能你会意识到原先的Rank就需要修改了，所以我要说的就是，当路径压缩时，Rank保存的就

是树高度的上界，而不仅仅是明确的树高度，可以理解成"伸缩椅"伸时候的长度。

 1 #region  查找x所属的集合
 2         /// 

 3         /// 查找x所属的集合
 4         /// 
 5         /// 
 6         /// 
 7         public char Find(char x)
 8         {
 9             //如果相等，则说明已经到根节点了，返回根节点元素
10             if (dic[x].parent == x)
11                 return x;
12 
13             //路径压缩(回溯的时候赋值，最终的值就是上面返回的"x"，也就是一条路径上全部被修改了)
14             return dic[x].parent = Find(dic[x].parent);
15         }
16         #endregion

我们注意到，在路径压缩后，我们将LogN的复杂度降低到Alpha(N)，Alpha(N)可以理解成一个比hash函数还有小的常量，嘿嘿，这

就是算法的魅力。

最后上一下总的运行代码：

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