支持向量机SVM推导及求解过程

        支持向量机是属于原创性、非组合的具有明显直观几何意义的分类算法，具有较高的准确率。

        使用SVM算法的思路：（1）简单情况，线性可分情况，把问题转化为一个凸优化问题，可以用拉格朗日乘子法简化，然后用既有的算法解决；（2）复杂情况，线性不可分，用核函数将样本投射到高维空间，使其变成线性可分的情形，利用核函数来减少高纬度计算量。

       一、SVM相关基本概念

       分割超平面

       设C和D为两不相交的凸集，则存在超平面P，P可以将C和D分离。 

        两个集合的距离，定义为两个集合间元素的最短距离。

        做集合C和集合D最短线段的垂直平分线。

          （图像摘自七月算法）

       但是， 如何定义两个集合的"最优"分割超平面？找到集合“边界”上的若干点，以这些点为“基础”计算超平面的方向，以两个集合边界上的这些点的平均作为超平面的“截距”。这些点被称作支持向量，点是可用向量方式表示。

       （图像取自七月算法）

        

        输入数据

        假设给定一个特征空间上的训练数据集

其中，,为第i个实例（若n>1，即x是多维度，具有多个属性特征，此时为向量）；

        为的类标记，当为+1时，称为正例，当为-1时，称为负例。

       

       线性可分支持向量机

        给定线性可分训练数据集，通过间隔最大化得到的分离超平面为，相应的分类决策函数该决策函数称为线性可分支持向量机。其中，是某个确定的特征空间转换函数，它的作用是将x映射到（更高的）维度，最简单直接的：。事实上，求解分离超平面问题可以等价为求解相应的凸二次规划问题。

      整理符号

        分割平面：

        训练集：

        目标值：

        新数据的分类：

 二、SVM推导过程

       推导目标函数

        根据题设

        有：

      w,b等比例缩放，则t*y的值同样缩放，从而：

        最大间隔分离超平面

        目标函数：，表示最近点到直线距离尽可能大

（图像取自七月算法）

        函数间隔和几何间隔

       分割平面：  (函数间隔)

       总可以通过等比例缩放w的方法，使得两类点的函数值都满足

             （图像取自七月算法）

     建立目标函数

       1.总可以通过等比例缩放w的方法，使得两类点的函数值都满足

       2.约束条件：

       3.原目标函数：

       4.新目标函数：

                       

       5.目标函数变换一下：

                       

        6.拉格朗日乘子法

                      

         7.原问题是极小极大问题

                      

                       原问题的对偶问题是极大极小问题

         8.将6中的拉格朗日函数分别对w, b 求偏导并令其为0：

                       

           9.计算拉格朗日的对偶函数

                        

         10.继续求的极大

                      

         11.整理目标函数：添加负号

                      

        12.线性可分支持向量机学习算法

               计算结果如下

                      

        13.分类决策函数

                        

       三、线性不可分SVM

         1.若数据线性不可分，则增加松弛因子，使函数间隔加上松弛变量大于等于1，

         则约束条件变成

                         

         目标函数：    （这里是为了保证松弛因子不至于过大）

         2.此时的凸优化为

                        

          3.拉格朗日函数

                         

        4.将三式代入L中，得到

                      

       5. 整理，得到对偶问题的最优化问题

                    

      求得最优解

      6.计算

                   

       实践中往往取支持向量的所有值取平均，作为b*

       7.求得分离超平面

       8.分类决策函数为

     

       核函数：可以使用核函数，将原始输入空间映射到新的特征空间，从而使得原本线性不可分的样本可在核空间可分。

       有多项式核函数

       高斯核函数RBF 

       字符串核函数

        在实际应用中，往往依赖先验领域知识或交叉验证等方案才能选择有效的核函数。没有更多先验信息，则使用高斯核函数。

核函数映射：

                          （图像取自七月算法）

                         （图像取自七月算法）

                  高斯核

                                       （图像取自七月算法）

          粗线是分割超“平面”，其他线是y(x)的等高线，绿色圈点是支持向量点。

          高斯核是无穷维的，因为

          注：SVM和Logistic回归的比较：（1）经典的SVM，直接输出类别，不给出后验概率；（2）Logistic回归，会给出属于哪一个类别的后验概率；（3）比较重点是二者目标函数的异同。