机器学习笔记：支持向量机

关键术语

支持向量（Support Vector）
支持向量机（Support Vector Mechines,SVM）
序列最小优化（Sequential Minimal Optimization,SMO）
核函数（Kernel Function）
超平面（Hyperplane）
分隔超平面（Separating hyperplane）
点到分隔面的距离为间隔（margin）

相关公式

分隔超平面的形式写成： wτx+b

要计算点A到分隔超平面的距离就必须给出点到分隔超平面的法线的长度，该值为： |wτx+b|∥w∥
当计算点到分隔面的距离并确定分割面的放置位置时，间隔通过 label∗(wτx+b) ，表示点到分隔面的函数间隔； label∗(wτx+b)⋅1∥w∥ ，表示点到分隔面的几何间隔。

如果数据点处于+1类并且离分隔超平面很远的位置时 wτx+b 会是一个很大的正数，同时 label∗(wτx+b) 也是一个很大的正数；
如果数据点处于-1类并且离分隔超平面很远的位置时 wτx+b 也会是一个很大的正数，同时 label∗(wτx+b) 也是一个很大的正数；

目标：找出分类器定义中的w和b。

所以要找到最小间隔的数据点，即支持向量，找到最小间隔的数据点，就要对该间隔最大化，表示为：

argmaxw,b{minn(label∗(wτx+b))⋅1∥w∥}

令所有支持向量的 label∗(wτx+b) 都为1，可以通过求 ∥w∥−1 的最大值来得到最终解。

该问题转化为带约束条件的最优化问题，这里的约束条件就是： label∗(wτx+b)≥1.0 。对于这类优化问题，有一个非常著名的求解方法，就是拉格朗日乘子法。
因此可以将超平面写成数据点的形式：

maxa[∑i=1mα−12∑i,j=1mlabel(i)label(j)⋅ai⋅aj⟨x(i),x(j)⟩]

其中 ⟨x(i),x(j)⟩ 表示 x(i),x(j) 两个向量的内积。

上面大公式的约束条件为：

α≥0 ，和 ∑mi=1αi⋅label(i)=0 ；

数据必须是100%线性可分。

因为数据并不那么干净，引入松弛变量，来允许有些数据点可以处于分隔面的错误一侧，这样优化目标保持不变，此时新的约束条件变为：

c≥α≥0 ，和 ∑mi=1αi⋅label(i)=0 ；

c 用来控制“最大化间隔”和“保证大部分点的函数间隔小于1.0”这两个目标的权重。可以调节 c 来得到不同的结果。
一旦求出了所有的alpha,那么分隔超平面就可以通过这些alpha来表达。SVM的主要工作就是求解这些alpha。

SMO(Sequential Minimal Optimization)算法

目标是求出一系列的alpha和b,一旦求出这些alpha就很容易计算出权重向量w并得到分隔超平面。

SMO算法的工作原理：每次循环中选择两个alpha进行优化处理。一旦找到一对合适的alpha，就增大一个同时减小另一个。而“合适”必须符合以下条件：
1. 两个alpha必须在间隔边界之外；
2. 两个alpha还没有进行过区间化处理或者不在边界上。

《Mechine Learning in Action》中简化版的SMO算法代码解读：svmLiA.py

''' Created on 2016年10月10日 支持向量机练习 @author: laizhiwen '''
import numpy as np
def loadDataSet(fileName):
    dataMat = []; labelMat = []
    fr = open(fileName)
    for line in fr.readlines():
        lineArr = line.strip().split('\t')
        dataMat.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
        labelMat.append(float(lineArr[2]))
    return dataMat,labelMat

''' i：第一个alpha的下标 m：所有alpha的数目 随机产生不等于输入值i的数 '''
def selectJrand(i,m):
    j=i 
    while (j==i):
        j = int(np.random.uniform(0,m))
    return j

''' 调整大于H而小于L的alpha值 '''
def clipAlpha(aj,H,L):
    if aj > H: 
        aj = H
    if L > aj:
        aj = L
    return aj

''' dataMatIn:样本集 classLabels：每一条样本数据对应的分类集 C: 常数 toler: 容错率 maxIter：迭代次数 '''
def smoSimple(dataMatIn, classLabels, C, toler, maxIter):
    dataMatrix = np.mat(dataMatIn); 
    labelMat = np.mat(classLabels).transpose()
    b = 0
    m,n = np.shape(dataMatrix) 
    alphas = np.mat(np.zeros((m,1)))
    iter = 0
    while (iter < maxIter):
        alphaPairsChanged = 0 #记录优化alpha值是否有效
        for i in range(m):
            #矩阵alphas，labelMat相乘得到一个m行1列矩阵，因为都是m行单列矩阵，对应位置的元素相乘重新组成一个新的m行单列矩阵
            #fXi是预测的类别，即预测的结果
            fXi = float(np.multiply(alphas,labelMat).T * (dataMatrix*dataMatrix[i,:].T)) + b
            Ei = fXi - float(labelMat[i])  #误差 = 预测结果-真实结果，如果Ei很大就可以对alpha进行优化
            #alpha不能等于0或C。如果if中等于0和C的话，那么它们就已经在边界上了，因而不能再减小和增大，也就不能再优化
            if ((labelMat[i]*Ei < -toler) and (alphas[i] < C)) or \
                ((labelMat[i]*Ei > toler) and (alphas[i] > 0)):  
                j = selectJrand(i,m) #随机选择第二格alpha的值
                #fXj是第二个alpha的误差，计算方法同上
                fXj = float(np.multiply(alphas,labelMat).T*(dataMatrix*dataMatrix[j,:].T)) + b
                Ej = fXj - float(labelMat[j])
                alphaIold = alphas[i].copy()
                alphaJold = alphas[j].copy()

                #将alpha[j]调整到0和C之间,L=H则不做改变，直接下一个；
                if (labelMat[i] != labelMat[j]):         
                    L = max(0, alphas[j] - alphas[i])         
                    H = min(C, C + alphas[j] - alphas[i])
                else:                                    
                    L = max(0, alphas[j] + alphas[i] - C)
                    H = min(C, alphas[j] + alphas[i])
                if L==H:
                    print("L==H")
                    continue
                #eta是alpha[j]的最优修改量
                eta = 2.0 * dataMatrix[i,:]*dataMatrix[j,:].T - \
                      dataMatrix[i,:]*dataMatrix[i,:].T - \
                      dataMatrix[j,:]*dataMatrix[j,:].T
                if eta >= 0: 
                    print("eta>=0")
                    continue #如果eta等于0则跳出本次迭代
                alphas[j] -= labelMat[j]*(Ei - Ej)/eta #计算出新的alpha[j]
                alphas[j] = clipAlpha(alphas[j],H,L)   #调整alpha[j]

                #判断alpha[j]是否有轻微改变，是就退出本次循环进行下一次迭代
                if (abs(alphas[j] - alphaJold) < 0.00001): 
                    print("j not moving enough")
                    continue

                alphas[i] += labelMat[j]*labelMat[i]*(alphaJold - alphas[j])

                #给两个alpha值设置常数项b
                b1 = b - Ei- labelMat[i]*(alphas[i]-alphaIold)*dataMatrix[i,:]*dataMatrix[i,:].T - \
                     labelMat[j]*(alphas[j]-alphaJold)*dataMatrix[i,:]*dataMatrix[j,:].T

                b2 = b - Ej- labelMat[i]*(alphas[i]-alphaIold)*dataMatrix[i,:]*dataMatrix[j,:].T - \
                     labelMat[j]*(alphas[j]-alphaJold)*dataMatrix[j,:]*dataMatrix[j,:].T

                if (0 < alphas[i]) and (C > alphas[i]): 
                    b = b1
                elif (0 < alphas[j]) and (C > alphas[j]): 
                    b = b2
                else: 
                    b = (b1 + b2)/2.0

                #如果成行执行到此都没有遇到过continue语句，就已经改变了一堆alpha了
                alphaPairsChanged += 1
                print("iter: %d i:%d, pairs changed %d" % (iter,i,alphaPairsChanged) )

        #判断alpha值是否做了更新，如果做了更新就将iter设置为0,继续执行程序
        if (alphaPairsChanged == 0): 
            iter += 1
        else:
            iter = 0
        print("iteration number: %d" % iter)
    return b,alphas  



dataArr,labelArr = loadDataSet('E:/4.开发书籍/machinelearninginaction/Ch06/testSet.txt')
print(labelArr)
b,alphas = smoSimple(dataArr, labelArr, 0.6, 0.001, 40)
print(b)
print(alphas[alphas>0])
for i in range(100):
    if alphas[i]>0.0:
        print(dataArr[i],labelArr[i])

至此，SMO算法的基本逻辑已经清晰。