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数项级数的简单整理

对于数项级数的简单整理

1、数项级数的定义

设有数列{{u_{n}}_{n=1 }^{\infty }},称u_{1}+u_{2}+……+u_{n}+......为一个数项级数，简记为\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}。

S_{n}=\sum _{k=1}^{n}u_{k}，称{S_{n}}为\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}的部分和数列，若\lim_{n\rightarrow \infty }S_{n}=S，S\in R，则称\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}收敛且\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}=S。

   注：等比级数（几何级数）是\sum _{n=1}^{\infty }aq^{n-1}=a+aq+aq^{2}+......，

关系：\sum _{n=1}^{\infty }aq^{n-1}如果\left | q \right |<1，则\sum _{n=1}^{\infty }aq^{n-1}收敛，且收敛时\sum _{n=1}^{\infty }aq^{n-1}=\frac{a}{1-q}；

          如果\left | q \right |>=1，\sum _{n=1}^{\infty }aq^{n-1}发散.

2、性质

1）\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}与\sum _{n=1}^{\infty }ku_{n}同敛散(k\neq 0常数)，且在收敛时\sum _{n=1}^{\infty }ku_{n}=k\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}.

2）\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}收敛，\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}收敛，则\sum _{n=1}^{\infty }(u_{n}+v_{n})收敛，且\sum _{n=1}^{\infty }(u_{n}+v_{n})=\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}+\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}.

3）收敛时的级数可任意加括号，不改变和.

4）增加，减少，改变有限项，不改变级数的敛散性.

3、收敛的必要条件

\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}收敛，则\lim_{n\rightarrow \infty }u_{n}=0

注：1）u_{n}\rightarrow 0是级数收敛的必要非充分条件.

       ▲2）u_{n}⇏0，则\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}一定发散.

4、敛散性判别法

1)正项级数(\sum _{n=1}^{\infty }u_{n},u_{n}>=0)

⑴有界判别法

   \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}收敛\Leftrightarrow{S_{n}}有上界.

⑵比较判别法

   \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}与\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}皆为正项级数，且n充分大时，u_{n}<=v_{n},则

   \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}收敛\Rightarrow\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}收敛，\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}发散\Rightarrow\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}发散.

⑶比较法的极限形式

   \lim_{n\rightarrow \infty }\tfrac{u_{n}}{v_{n}}=l

      ①如果0<l<+\infty时，\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}与\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}同敛散；

      ②如果l=0时，\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}收敛\Rightarrow\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}收敛；

      ③如果l=+\infty时，\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}发散\Rightarrow\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}发散.

⑷比值法与根值法(比较方便简单的方法)▲

   \lim_{n\rightarrow \infty }\tfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\rho或\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{u_{n}}=\rho

      ①\rho <1时，\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}收敛

      ②\rho >1时，\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}发散

      ③\rho =1时，\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}可能收敛，可能发散

2）交错级数(\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}u_{n}或\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}u_{n},u_{n}>=0)

Leibniz判别法：对于交错级数\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}u_{n}，若{u_{n}}单调递减趋于0，则\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}u_{n}收敛.

3）绝对收敛与条件收敛

定义：对任意项级数\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}，

   ⑴若\sum _{n=1}^{\infty }\left | v_{n} \right |收敛，则称\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}绝对收敛.

   ⑵若\sum _{n=1}^{\infty }\left | v_{n} \right |发散，但\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}收敛，则称\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}条件收敛

注：绝对收敛一定收敛.

  

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