【算法】全局最短路——Floyd-Warshall算法

给定一张图，该如何确定图中任意两点间的最短距离呢？

我们先想想通常的做法。在一个有n个点的图中，任意两点间的最短距离的步数（经过一个点算一步）一定不超过n，也就是说把n个点每个点经过一次，那么我们来想这样一个算法，每次枚举i到 j经过的步长，从1到n，最后的结果就是比较这些步数对应的值的最小值，就是i到j的最短距离。实现起来也很简单，来考虑矩阵的乘法 ，我们把所有的加法变成取最小值，乘法变成加法，那么map*map得到的新的map2[i][j]就是从i到j走两步的最小值，怎么解释呢？想象矩阵乘的时候，每次都是map[i][m]+map[m][j]，就是代表从i到j经过m的距离，而k是从1到n的，也就是说所有的点都被我们枚举了一遍，这样得到的最小值就一定是 从i到j走两步的最小值。

那么推广开来，map^k表示的就是任意两点经过k步的最短距离，初始为0也就是邻接矩阵。

但是这个算法的复杂度是多少？k,i,j,m都需要n次枚举嵌套循环，总的就需要o(n^4),太大了。

因此我们要换个思路，不以步数为基准去枚举，从动态规划的角度看，我们需要对i到j的最短距离重新下一个定义，这种方法也是动态规划最核心最精华的部分。

我们来想，如果要缩短i到j的距离，无非是引入一个新的点k，使从i通过k再到j的权值和比直接从i到j的小，那么我们定义这样的一种状态：dis[k][i][j]表示不经过编号大于k的点的，i到j的最短路径，同样的，dis[0][i][j]就是邻接矩阵，那么很简单，当我们知道k-1时的dis值时，dis[k][i][j] = min{dis[k-1][i][j] , dis[k-1][i][k] + dis[k-1][k][j]}，也就是说，我们只需要知道加入k点最短路和不加k点的最短路的最小值。这里要注意dp的思想，也就是我要知道当前状态时，我已知的是之前状态的最优值，要注意k-1是指经过1到k-1的所有点，而不仅仅是k-1这个点，最终的结果就是dis[n][i][j]，也就是经过n个点i到j的最短路径（这时图中的点都被考虑过了）。

下面来看如何优化，联系到01背包问题的优化，因为k的值只和k-1时的值有关，所以可以直接去掉 k这一维，新的状态转移方程为

dis[i][j] = min { dis[i][j] , dis[i][k] + dis[k][j] }

如果不仅想知道i到j的最短路，还想知道路径的具体过程，那么我们需要再开一个pre数组，pre[i][j]表示从i到j的最短路径到j的前驱，也就是这条路上j点之前的一个点的编号，如果在状态转移（floyd称之为松弛操作）时添加了k，那么pre[i][j]=pre[k][j]。

代码实现如下

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int maxn = 10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int map[maxn][maxn], dis[maxn][maxn], pre[maxn][maxn];        //map数组是最初的邻接矩阵，dis数组表示任意两点的最短距离，pre[i][j]表示从i到j的最短路中j点的直接前驱，也就是到j点的之前一个点的编号
int n;                                                        //图中的点数
void init()
{
	for (int i = 0; i < n; i++)
		for (int j = 0; j < n; j++)
		{
			dis[i][j] = map[i][j];
			pre[i][j] = map[i][j] == INF ? -1 : i;            //初始化pre时，如果map[i][j]有不为INF的值说明i到j有通路，则j的前驱在初始化的时候就是i，否则的话初始化为-1表示没有i到j
		}
}

void Floyd()
{
	for (int k = 0; k < n; k++)
		for (int i = 0; i < n; i++)
			for (int j = 0; j < n; j++)
			{
				if (dis[i][j] < dis[i][k] + dis[k][j])
				{
					dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j];
					pre[i][j] = pre[k][j];                    //更新前驱
				}
			}
}

int main()
{
	int m,u, v, w;
	scanf("%d%d", &n,&m);                                     //点数和边数
	for (int i = 0; i < n; i++)
		for (int j = 0; j < n; j++)
			map[i][j] = INF;
	while (m--)
	{
		scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
		map[u][v] = map[v][u] = w;                            ///无向图要正反各赋值一次
	}
	init();
	Floyd();

	return 0;
}