【算法设计与分析】11 递归树

当前面所学习的迭代法、差消法等不太好解决的问题，可以使用递归树，来很方便的解决。

1. 递归树的概念

• 递归树是迭代计算的模型
• 递归树的生成过程与迭代过程一致
• 递归树上的所有项恰好是迭代之后产生的和式中的项
• 对递归树上的项求和，就是迭代后方程的解

1.1 迭代在递归树中的表示

如果递归树上某节点记为：W(m),则：

举个例子，二分归并排序的时间复杂度的递推式子对应的递归树为：

2. 递归树的生成规则

• 初始，递归树只有根节点，其值为：W(n)
• 不断继续下述过程：

1. 将函数项叶节点的迭代式W(m)表示成二层子树
2. 用该子树替换该叶节点

• 继续递归树的生成，直到树种无函数项（只有初值）为止

2.1 递归树生成实例

下面还是以二分归并的例子来说明递归树的生成过程：

最终形成递归树：

• 然后对上面递归树每个节点相加进行求和，即可得到W(n)的值：

这与前面求得的结果一样。

2.2 递归树应用实例

求解：

它的递归树为：

观察上面的递归树，每一行的和都是n。但是因为左边子树短一些，右边子树长一些，所以最终的极限末尾处，左边已经没有节点，但是右边还有节点，但是此时右边的节点和不会超过n，所以取其极限O(n).

然后对上面的式子进行求和：

可以看出利用递归树，可以很容易的求出上述的结果，但是利用迭代就比较麻烦。

3. 总结

• 递归树是迭代的图形表示
• 学会递归树的生成规则
• 学会使用递归树求解递推方程的解