POJ 1201 Intervals 差分约束系统建图
title
POJ 1201
CH POJ1201
Description
You are given n closed, integer intervals [ai, bi] and n integers c1, …, cn.
Write a program that:
reads the number of intervals, their end points and integers c1, …, cn from the standard input,
computes the minimal size of a set Z of integers which has at least ci common elements with interval [ai, bi], for each i=1,2,…,n,
writes the answer to the standard output.
Input
The first line of the input contains an integer n (1 <= n <= 50000) – the number of intervals. The following n lines describe the intervals. The (i+1)-th line of the input contains three integers ai, bi and ci separated by single spaces and such that 0 <= ai <= bi <= 50000 and 1 <= ci <= bi - ai+1.
Output
The output contains exactly one integer equal to the minimal size of set Z sharing at least ci elements with interval [ai, bi], for each i=1,2,…,n.
Sample Input
5
3 7 3
8 10 3
6 8 1
1 3 1
10 11 1
Sample Output
6
Source
Southwestern Europe 2002
analysis
嗯，看完书上的文字题解，不出十分钟敲完，然后。。。。。。。我承认，我把“负权”两个字忘掉了，傻子一般地敲了一个 D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra，然后半天跑不出来答案，再好好看书后，猛然发现，这是有负权的。。。。。。。。。。
这道题其实就是让我们在 0 ∼ 50 , 000 0\sim50,000 0∼50,000之间选出尽量少的数，使得每一个 [ a i ， b i ] [a_{i}，b_{i}] [ai，bi]内至少有 c i c_{i} ci个数被选择。
设 s [ k ] s[k] s[k]表示 0 ∼ k 0\sim k 0∼k之间有几个数字被选，很明显， s [ b i ] − s [ a i − 1 ] > = c i s[b_{i}]-s[a_{i}-1]>=c_{i} s[bi]−s[ai−1]>=ci。这就很明确地告诉我们这是一个差分约束系统的模型了。
当然，秉着差分约束经常搞些隐含条件的规则，我们还是要去再想想的，毕竟这样才能保证求出的解是合法的。
然后我们就可以发现（你管我是怎么发现的QWQ）：
1 . s [ k ] − s [ k − 1 ] > = 0 .s[k]-s[k-1]>=0 .s[k]−s[k−1]>=0。 0 ∼ k 0 \sim k 0∼k中所选取的整数肯定要比 0 ∼ k − 1 0\sim k-1 0∼k−1中选取的整数多。
2. s [ k ] − s [ k − 1 ] < = 1 s[k]-s[k-1]<=1 s[k]−s[k−1]<=1。因为每个数最多只能被选择一次。也可变形成为 s [ k − 1 ] − s [ k ] > = − 1 s[k-1]-s[k]>=-1 s[k−1]−s[k]>=−1。
因此，我们把 0 ∼ 50001 0 \sim 50001 0∼50001这 50002 50002 50002个整数分别作为图中的节点，从每个 k − 1 k-1 k−1到 k k k连一条长度为 0 0 0的有向边， k k k到 k − 1 k-1 k−1连一条长度为 − 1 -1 −1的有向边，从每个 a i a_{i} ai到 b i + 1 b_{i}+1 bi+1连一条长度为ci的有向边。
最后，令 s [ 0 ] = 0 s[0]=0 s[0]=0，以 0 0 0为起点跑单源最长路。因为本题保证了 1 < = c i < = b i − a i + 1 1 <= c_{i} <= b_{i} - a_{i}+1 1<=ci<=bi−ai+1，所以本题中没有正环，差分约束系统一定有解。求完最长路后， s [ 50001 ] = d i s t [ 50001 ] s[50001]=dist[50001] s[50001]=dist[50001]就是本题的答案。（到这里，也就知道了 s [ ] s[] s[]就是 d i s t [ ] dist[] dist[]了，而且，《算阶》上的因为要从 − 1 -1 −1开始跑，我搞不定，就把他们全都加一了。）。
code
#include