高等数学--微分定理及其应用（四）

微分定义

设函数y=f(x)在某区间内有定义，x0及x0+Δx在这区间内，如果函数增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）可表示为：
Δy=AΔx+o（Δx）
其中A是不依赖于Δx的常数，那么称函数y=f(x)在点x0可微，AΔx叫做函数y=f(x)在点x0处相应于自变量增量Δx的微分，记作dy
dy=AΔx
上式可综合为：
Δy=dy+o（Δx）

当Δx→0时，limo（Δx）→0，Δy≈dy，A=f’(x0)
于是当y=f(x)在x0处可微时，Δy≈dy=f’(x0)Δx

通常把自变量的增量Δx称为自变量的微分，记作dx，那么上式又可写为：
dy=f’(x)dx
即
f（x0+Δx）-f（x0）≈ f’(x)dx
微分几何意义： 在局部上用切线段近似代替曲线段，也称非线性函数的局部线性化。

微分在工程上近似公式

根据微分的定义，容易推出以下近似公式：
f(x) ≈ f(0)+f’(0)x
进一步可推出：
①（1+x）^a ≈ 1+ax
② sinx ≈ x （x用弧度作单位）
③ tanx ≈ x （x用弧度作单位）
④ e^x ≈ 1+x
⑤ ln(1+x) ≈ x

在点0处增量一个Δx，如果函数f(x)可微， f(x) ≈ f(0)+f’(0)x，所以cosx ≈ 1

例9 计算1.05^(1/2)
解： 1.05^(1/2) = (1+0.05) ^(1/2) ≈ 1+1/2* 0.05 =1.025

而1.05^(1/2)直接开方=1.02470，误差不超过0.001

中值定理

罗尔定理：
①函数f(x)在闭区间[a,b]连续；
②在开区间(a,b)内可导；
③在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a,b)内至少有一点ζ（a<ζ

导数为零的点称为函数的驻点，稳定点，临界点。

拉格朗日中值定理

①函数f(x)在闭区间[a,b]连续；
②在开区间(a,b)内可导；
那么在(a,b)内至少有一点ζ（a<ζ

几何意义： 如果连续曲线y=f(x)的弧AB上除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，那么这弧上至少有一点c，使曲线在c点处的切线平行于弦AB。
罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形，由于f(a)=f(b)，弦AB是平行于x轴的，点C切线也平行于x轴。

前面所学函数微分 dy=f’(x)Δx 是函数的增量Δy的近似表达式，只有当Δx→0时才能忽略其误差，而拉格朗日中值定理却给出了有限增量Δx，函数增量Δy的准确表达式：
Δy=f’(x+θΔx)*Δx (0<θ<1)

所以拉格朗日中值定理也叫有限增量定理。

突然兴趣来了，自己做个实验，假设想近似计算e^2，把它看成e ^(1+1),即x0=1，Δx=1，先求y = e ^x 对x求导 为 e ^(xloge) , θ取0.5，那么
Δy =f’(1+10.5)*1 = f’(1.5) = 4.4817

当x0=1时，y0 = f(x0) =e=2.7183，最后结果为y0+Δy=2.7183+4.4817 = 7.2
直接e^2是7.3891，误差还是大了点，θ取值有什么讲究么？如果取θ=0.6，那么最后结果是7.6713，又超了。
再考虑到初始为1，增量也是1，增量翻倍了，无论如何也谈不上有限增量吧。

再试试e^1.5，把它看成e ^(1+0.5),即x0=1，Δx=0.5， θ取0.5，那么
Δy =f’(1+0.5*0.5)*0.5 = f’(1.025) * 0.5 = 1.3935
最后结果为y0+Δy=2.7183+1.3925=4.1118
直接 e^1.5 = 4.4817 ， 误差更大了， 还是不行啊。。肯定有什么关键我没理解到。

再试试e^1.2，把它看成e ^(1+0.2),即x0=1，Δx=0.2， θ取0.5，那么
Δy =f’(1+0.2*0.5)*0.2 = f’(1.1) * 0.2 = 0.6008
最后结果为y0+Δy=2.7183+0.6008=3.3191
直接e^1.2 =3.2101 ， 这下很接近了，误差是0.001。

所以这里有两个关键问题，Δx取值范围多少才算有限增量？按照刚才实验，好像20%内波动是可行的；
第二个问题是θ取值为多少才是恰当的？ 定理是0<θ<1，我为了平均随意取的0.5，好像碰巧是可行的。
网络上查询了半天也没查找到答案，不解决这两个问题，拉格朗日定理用于估算没有实用性啊，误差如何评估？

柯西中值定理

①函数f(x)在闭区间[a,b]连续；
②在开区间(a,b)内可导；
③对任一 x∈（a，b），F’（x）不等于0，那么在（a，b）内至少有一点ζ（a<ζ (f(b) - f(a))/ (F(b) - F(a) ) = f’(ζ)/F’(ζ)
柯西中值定理是应用于参数方程，特别的，当F(X)=x,那么F(b)-F(a)=b-a，F’(x)=1,因而上式就能写成：
f(b) - f(a) =f’(ζ) *(b-a)
可见拉格朗日中值定理是柯西定理的特殊情况。

洛必达法则

如果x→a或x→∞，两个函数f(x)与F（x）都趋于0或∞，那么极限lim f(x)/F(x)可能存在，也可能不存在，把这种极限叫做未定式。
通过对分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法，叫做洛必达法则。

例2 求lim (x^3-3x+2)/( x ^3-x ^2-x+1) x→1时的极限。

解： 上式为0/0 未定式，应用洛必达法则，对分子分母分别求导
im (x^3-3x+2)/( x ^3-x ^2-x+1) = lim (3x ^2 - 3)/(3 x ^2 -2x -1) = lim 6x/(6x-2) = 3/2
注意，6x/(6x-2)已经不是未定式，所以不能在对它使用洛必达法则。

还有一些0*∞，∞-∞，0^0，1 ^∞， ∞ ^0型未定式，也可通过转换成0/0或∞/∞型的未定式，应用洛必达法则求解。

泰勒中值定理

对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似的表达。

如果函数f(x)在x0的某个领域U（x0）内具有(n+1)阶导数，那么对于任一x∈U，有
f(x)= f(x0)+ f’(x0)(x-x0)+(f’’(x0)*(x-x0)^2)/2!+…+(f ^(n)(x0)(x-x0) ^n)/n!+Rn(x)
其中 Rn(x)=(f ^(n+1)(ζ)(x-x0) ^（n+1）)/（n+1）!

上式称为函数f(x)在x0处（按x-x0的幂展开）的带有拉格朗日余项的n阶泰勒公式，Rn既是拉格朗日余项。
如果取n=0，泰勒公式就转变为拉格朗日中值定理，因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广。

如果取x0= 0，那么ζ在0到x之间，令ζ=θx，因此泰勒公式化简为：
f(x)= f(0)+ f’(0)(x)+(f’’(0)*(x)^2)/2!+…+(f ^(n)(0)(x) ^n)/n!+(f ^(n+1)(θx)x ^（n+1）)/（n+1）!
该式又叫做带有拉格朗日余项的麦克劳林公式。

综合，可得近似公式：
f(x) ≈ f(0)+ f’(0)(x)+(f’’(0)*(x)^2)/2!+…+(f ^(n)(0)(x) ^n)/n!

回到前面的疑惑，估算近似值的时候，不是直接用拉格朗日定理来做的，完全可以直接用麦克劳林公式。
也就不需要去考虑增量多少才算有限增量了。
比如近似计算e^1.5，初始x0=0，Δx=1.5，f(x)=e ^x，因为f’(0)=f’’(0)=…=f ^n(0)=1
取e^x ≈ 1+x+x ^2/2！+x ^3/3!+…x ^n/n!，取n为6的时候，n+1=7阶导数时

syms x
x=1.5;
y=1+x+x^2/factorial(2)+x^3/factorial(3)+x^4/factorial(4)+x^5/factorial(5)+x^6/factorial(6)

直接 e^1.5 = 4.4817 ， 误差是0.0042，随着n阶取值增加，越来越逼近原函数的值。
这样做计算近似值更加方便了，而且误差也能够估算出来。

matlab中，也有专门的taylor函数，
用法一：taylor(f,var)，默认是第5阶展开（n=5），且var可省略（x0=0），也既是麦克劳林展开。
用法二 ：taylor(f,var,a)，默认是第5阶展开（n=5），var指明自变量名，x0=a，即按照x-a的幂展开。
用法三： taylor(f,Name,Value)， 完整形式，通过name，value成对设定 name有 ‘ExpansionPoint’，这就是x0；‘Order’，就是阶数，这里注意order的阶数是指的最大阶数，即n+1=order，因为n默认为5，这里order默认是6.

再计算一下e^1.5

%麦克劳林5阶展开
y=exp(1)^x;
 taylor(y);

% 6阶展开，order要写7
 taylor(y,'order',7)