一层一层剥开背包问题

背包问题是非常经典的动态规划问题，这里设计到空间开销的问题，以下对方法不断改进，优化空间开销。

1.记忆化搜索

时间复杂度: O(n * C) 其中n为物品个数; C为背包容积
空间复杂度: O(n * C)

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

/// 背包问题
/// 记忆化搜索
/// 时间复杂度: O(n * C) 其中n为物品个数; C为背包容积
/// 空间复杂度: O(n * C)
class Knapsack01{

private:
    vector> memo;

    // 用 [0...index]的物品,填充容积为c的背包的最大价值
    int bestValue(const vector &w, const vector &v, int index, int c){

        if(c <= 0 || index < 0)
            return 0;

        if(memo[index][c] != -1)
            return memo[index][c];

        int res = bestValue(w, v, index-1, c);
        if(c >= w[index])
            res = max(res, v[index] + bestValue(w, v, index - 1, c - w[index]));
        memo[index][c] = res;
        return res;
    }

public:
    int knapsack01(const vector &w, const vector &v, int C){
        assert(w.size() == v.size() && C >= 0);
        int n = w.size();
        if(n == 0 || C == 0)
            return 0;

        memo.clear();
        for(int i = 0 ; i < n ; i ++)
            memo.push_back(vector(C + 1, -1));
        return bestValue(w, v, n - 1, C);
    }
};

2. 动态规划
   时间复杂度: O(n * C) 其中n为物品个数; C为背包容积
   空间复杂度: O(n * C)

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

/// 背包问题
/// 动态规划
/// 时间复杂度: O(n * C) 其中n为物品个数; C为背包容积
/// 空间复杂度: O(n * C)
class Knapsack01{

public:
    int knapsack01(const vector &w, const vector &v, int C){
        assert(w.size() == v.size() && C >= 0);
        int n = w.size();
        if(n == 0 || C == 0)
            return 0;

        vector> memo(n, vector(C + 1,0));

        for(int j = 0 ; j <= C ; j ++)
            memo[0][j] = (j >= w[0] ? v[0] : 0 );

        for(int i = 1 ; i < n ; i ++)
            for(int j = 0 ; j <= C ; j ++){
                memo[i][j] = memo[i-1][j];
                if(j >= w[i])
                    memo[i][j] = max(memo[i][j], v[i] + memo[i - 1][j - w[i]]);
            }
        return memo[n - 1][C];
    }
};

3.动态规划改进: 滚动数组
时间复杂度: O(n * C) 其中n为物品个数; C为背包容积
空间复杂度: O©, 实际使用了2*C的额外空间

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

/// 背包问题
/// 动态规划改进: 滚动数组
/// 时间复杂度: O(n * C) 其中n为物品个数; C为背包容积
/// 空间复杂度: O(C), 实际使用了2*C的额外空间
class Knapsack01{

public:
    int knapsack01(const vector &w, const vector &v, int C){
        assert(w.size() == v.size() && C >= 0);
        int n = w.size();
        if( n == 0 && C == 0 )
            return 0;

        vector> memo(2, vector(C + 1, 0));

        for(int j = 0 ; j <= C ; j ++)
            memo[0][j] = (j >= w[0] ? v[0] : 0);

        for(int i = 1 ; i < n ; i ++)
            for(int j = 0 ; j <= C ; j ++){
                memo[i % 2][j] = memo[(i-1) % 2][j];
                if(j >= w[i])
                    memo[i % 2][j] = max(memo[i % 2][j], v[i] + memo[(i-1) % 2][j - w[i]]);
            }
        return memo[(n-1) % 2][C];
    }
};

4.动态规划改进
时间复杂度: O(n * C) 其中n为物品个数; C为背包容积
空间复杂度: O©, 只使用了C的额外空间

public:
    int knapsack01(const vector &w, const vector &v, int C){
        assert(w.size() == v.size() && C >= 0);
        intn = w.size();
        if(n == 0 || C == 0)
            return 0;

        vector memo(C+1,0);

        for(int j = 0 ; j <= C ; j ++)
            memo[j] = (j >= w[0] ? v[0] : 0);

        for(int i = 1 ; i < n ; i ++)
            for(int j = C ; j >= w[i] ; j --)
                memo[j] = max(memo[j], v[i] + memo[j - w[i]]);

        return memo[C];
    }
};