感知机、线性回归、逻辑回归的简单对比

标签： 机器学习算法

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1. 感知机算法（Perceptron Algorithm）

　　感知机算法是机器学习中的一个二分类监督学习算法，通过一个函数决定由向量代表的一个输入是否属于某一类。它是一种线性分类器：特征通过权重线性组合，然后通过一个线性预测函数来判断。这个算法最早由Frank Rosenblatt在1957年提出。
　　假设输入为 x⃗  ，通过某种确定的非线性变换成一组特征向量 Φ(x⃗ ) ，特征向量通过一个函数构成广义线性模型：
　　

y(x⃗ )=h(wTΦ(x⃗ ))=hw(x⃗ )

　　其中，非线性激活函数 f(⋅) 是以下形式的阶梯函数：
　　

h(a)={1,a≥00,a<0　　

　　一般情况下， Φ(x⃗ ) 包含偏分量 ϕ0(x⃗ )=1 。在很多讨论中， f(a) 的值域为 −1,+1 。本文为了和后文统一，选用了 0,1 。

感知机算法求解

　　感知机算法是假设数据集的特征空间是线性可分的，我们需要求得一个超平面，将数据集在特征空间分开。需找超平面即确定参数 w 。我们需要定义一个损失函数，通过求损失函数最小值来获得参数 w 。直观的做法是选择被分类器分错的样本数作为优化目标，然而这不是一个简单的学习算法，因为损失函数将是一个关于 w 的分段常量函数。梯度下降法在此处无法使用。
　　对于样本，我们有 (y(i)−hw(x(i)→))wTx(i)→≥0 成立。因此将损失函数定义为（使用 x 代替了 x⃗  ）：

l(w)=−∑i∈E(y(i)−hw(x(i)))wTx(i)

其中 E 表示分错的样本集合。
　　使用随机梯度下降法我们有：

w:=w−α(∇(l(w)):=w+α∑i∈E(y(i)−hw(x(i)))x(i)

考虑到，当样本未被分错时，有 y(i)−hw(x(i))=0 ，因此我们可以将上次重写为：

w:=w−α(∇(l(w)):=w+α∑i∈D(y(i)−hw(x(i)))x(i)

其中 D 表示所有的样本集合。

2. 线性回归模型和逻辑回归模型

线性回归：

　　线性回归模型的损失函数（或者叫错误函数）是最小平方误差，逻辑回归模型的求解是使用极大似然函数法，损失函数可以看做对似然函数求底为 e 的对数。

l(w)=−12∑i∈D(y(i)−hw(x(i)))2

其中 hw(x(i))=wTx ， D 表示所有的样本集合。
运用随机梯度下降法后我们发现：

w:=w−α(∇(l(w)):=w+α∑i∈D(y(i)−hw(x(i)))x(i)

逻辑回归模型：

　　逻辑回归模型也是一个二分类模型，属于广义线性模型。将特征空间映射成一种可能性。
　　假设 P(y=1|x;w)=hw(x) ， P(y=0|x;w)=1−hw(x) 。则最大似然概率函数有：

l(w)=p(y⃗ |X;w)=∏i∈D(hw(x(i))y(i))(1−hw(x(i))1−y(i))

其中 hw(x(i))=11+e−wTx(i) ， D 表示所有的样本集合。

运用随机梯度下降法后我们发现：

w:=w−α(∇(l(w)):=w+α∑i∈D(y(i)−hw(x(i)))x(i)

3. 三者的联系与区别

　　最后我们发现三者虽然使用的不同思路，也属于不同问题（分类、回归）。但最后竟然有相同的求解形式。然而我目前还未明白这是为什么，也不知道有什么用….
　　下面盗用台大林轩田老师的PPT（coursera上《机器学习基石》课程）阐述他们之间的一些联系关系：

　　上图是描述统一三者的符号，为了后面对比做准备。并定义三种模型的损失函数（错误函数）。

　　对比单个样本分类错误时，三种模型的损失函数。　　

　　对比三种模型的优缺点。

优缺点对比　　

PLA（感知机算法）：
优点：有效、线性可分下有保证
缺点：仅在线性可分下有效，非线性需要pocket算法。
线性回归：
优点：容易优化
缺点：0/1错误下，对于 |ys| 有比较宽松的VC维界
逻辑回归：
优点：容易优化
缺点：0/1错误下，对于 ys≪0 有比较宽松的VC维界