Bluestein算法简要介绍

前言

其实我是不打算学 $\text{Bluestein}$ 的，第一次听说这个算法还是在今年省选后，HNOI2019D2T2考了，然后就比较悲剧。

刚好 Dra 在啃论文，跟着一块将近啃了一个下午，大概是看懂了，于是就有了这篇文章。

下面是一些参考资料

• 2016年国家集训队论文毛啸《再探快速傅里叶变换》
• wikipedia

原理

普通的 $\text{FFT}$ 是把函数表达式转点值表达式，并采了 $N=2^n$ 个样本，即采样点 $x_i=w_N^i$。

而 $\text{Bluestein}$ 算法并不要求 $N$ 为 $2$ 的整数次幂，即可以对复数域单位圆上的一系列有倍数关系的点进行多点求值。

具体地，假设有
$$f(x)=\sum _{i=0}^{n-1}{f}_i\cdot x^i$$

那么我们对它进行 $\text{DFT}$ 操作，就相当于求
$$F_k=f(w_n^k)=\sum _{i=0}^{n-1}{f}_i\cdot w_n^{ik}=\sum _{i=0}^{n-1}{f}_i\cdot w_n^{\frac{-(k-i{)}^2+i^2+k^2}{2}}$$

$$F_k=w_n^{\frac{k^2}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}{f}_i{w}_n^{\frac{i^2}{2}}\cdot w_n^{-\frac{(k-i{)}^2}{2}}$$

不难发现后面其实是一个卷积的形式，那么我们就可以用线性卷积把它优化至 $O(n\log n)$。这样一来，它的常数就是 $\text{FFT}$ 的三倍。其实由于求和的上界是 $n-1$ ，因此我们需要对 $k,i$ 的大小关系进行分类讨论，因此需要正反做两遍卷积，常数又翻了一倍。

注意到指数有可能不是一个整数，如果在模意义下可能会用到二次剩余，而解决二次剩余是一件比较麻烦的事情，那么我们可以用另一种换法
$$ik=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+k}{2}\right)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{2}\right)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{2}\right)$$

同样地可以得到：

$$F_k=w_n^{-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{2}\right)}\sum _{i=0}^{n-1}{f}_i{w}_n^{-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{2}\right)}\cdot w_n^{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+k}{2}\right)}$$

注意负数的组合数也是有定义的。把后面翻转一下就是卷积的形式。

应用

其实没什么应用，除了可以和单位根反演结合出毒瘤题之外，在单位根反演中如果要用到多点求值，而 $w_n$ 中 $n$ 又不是一个 $2$ 的整数次幂，就可以类似地用 $\text{Bluestein}$ 来进行优化。如 [HNOI2019]白兔之舞中，答案的形式是类似于多点求值的。

另外值得一提的是，它可以在 $O(n\log n+n\log k)$ 的时间内解决循环卷积的多项式快速幂，只需要在进入快速幂函数时 $\text{DFT}$ 一次，中间快速幂的过程只需要对点值相乘，再函数结束前再重新 $\text{IDFT}$ 回去即可。

代码

具体实现就不说了，代码也许以后会填坑吧。口胡一时爽，一直口胡一直爽