详解 浮点数的规格化表示

《深入理解计算机系统》(兰德尔 E. 布莱恩特)中对浮点数的描述不容易懂，在这里记录一下，以加深理解。

1、IEEE浮点表示

IEEE(读作“eye-triple-ee”)浮点标准754中，用图1的形式来表示一个数：

图1 浮点数表示形式​​​

符号(sign)——s决定这个数是负数(s=1)还是正数(s=0)，而对于数值0的符号位解释，作为特殊情况处理；

尾数(significand)——M决定浮点数的精度，它是一个二进制小数；

阶码(exponent)——E的作用是对浮点数加权，这个权重是2的E次幂(可能是负数)，它决定浮点数的取值范围。

对于单精度float，组成形式是：1位符号，8位阶码，23位尾数。

2、浮点数值的分类 

根据阶码，浮点数可以分成三种情况：规格化的，非规格化的或特殊值 

 情况1：规格化的值

 当阶码的所有bits，既不全为0，也不全为1时，都属于这种情况。

此时，阶码字段被解释为"以偏置(Bias)形式表示的有符号整数" 。也就是说，阶码所表示的实际数值应是 

 

其中 e 是k 位的阶码所表示的无符号数值，其位表示形式为："  "。 

而Bias是一个等于  的偏置值，例如单精度float的偏置是127。由此产生指数的取值范围，对于单精度float是 -126~127 (针对阶码数值为-127或128时的分析，请参考情况2和情况3)。

 

而尾数字段，则被定义为

其中，f 是n 位的尾数所表示的小数值，满足 ，其二进制表示为："  "，也就是二进制小数点在最高有效位的左边。

有时，这种方式也叫做隐含的以1开头的表示 ，因为我们可以把尾数 M 看成是一个二进制表达式为："  " 的数字。

为什么要用这种表示方式，既然我们总能够调整阶码 E ，使得尾数 M 在范围  之中，那么这种表示方法是一种轻松获得一个额外精度位的技巧——既然第一位总是等于1，那我们就不需要显式地表示它。

由此，规格化形式可以表示的数值 V 的范围是  。

 

情况2：非规格化的值

 当阶码的所有bits全为0时，所表示的数是非规格化形式。(针对单精度float，阶码值为-127)

在这种情况下，阶码的数值是  。而尾数的值是  ，也就是尾数字段的值，开头没有隐含的1。

——那么，为什么非规格化形式为什么将阶码值定义为 ，而不是  ？

——因为只有这样，才能从非规格化值平滑转换到规格化值。对此，本文章最后以数字示例做了详细解释。

 非规格化形式提供了两种数值0的表示，以单精度float为例，分别是：

+0：0    0000 0000    000 0000 0000 0000 0000 0000；

-0： 1    0000 0000    000 0000 0000 0000 0000 0000。

由此，非规格化形式可以表示的数值 V 的范围是分段函数  ，其中，s 为符号位。

 

情况3：特殊值

 当阶码的所有bits全为1时，所表示的数是特殊值。(针对单精度float，阶码值为128)

（1）无穷 ∞

尾数为0时，该值表示无穷。当两个非常大的数相乘时，或除数为0时，无穷能够表示溢出的结果。

+∞ ：0    1111 1111    000 0000 0000 0000 0000 0000

-∞  ：1    1111 1111    000 0000 0000 0000 0000 0000

（2）NaN

尾数不为0时，结果值被称为“NaN (Not a Number)”，一些运算的结果不为实数或无穷时，就会返回这样的 NaN 值，比如计算  或  时。

NaN  ：x    1111 1111    xxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx

3、数字示例 

图2展示了假定的8位浮点格式的示例，其中有 k = 4 的阶码位和 n = 3 的小数位。于是可知偏置量 Bias 是  。

图2 8位浮点格式的非负值示例

可以观察到，最大非规格化数  和最小规格化数  之间的平滑转变。这种平滑性归功于我们对非规格化数的阶码 E 的数值的定义。通过将非规格化数的阶码 E 定义为 1 - Bias，而不是 -Bias，我们可以补偿非规格化数的尾数没有隐含的1。

本文完。