【北大2019冬令营模拟2019.1.1】多边形

Description:

$1<=T<=10^5,1<=k,m<=n<=10^6$

题解：

这题很好的考察了观察能力、组合数乱搞能力，然后我被区分了。

首先假设选了一些点，它们是$a1,a2,a3\dots \dots am$,根据圆周角那一套东西，
锐角的个数$={\sum }_{i=1}^{n}a[i+2]->a[i]>=(n+1)/2$

也可以变成：
选一个长度为m的序列$b$，$b[i]>0,\sum b[i]=n$，
锐角的个数$={\sum }_{i=1}^{n}b[i]+b[i+1]>=(n+1)/2$，
这样的b的个数*n/m就是答案，为什么呢？

b实际上枚举的是差分后的序列，每个点都可以作为起点，$\ast n$，然后每个点被覆盖了n*m/n=m次
所以会重复计算m次。

直接算不好算，然后我们考虑容斥，算至少的，用二项式反演容斥回去就行了。

设$p=(n+1)/2$
设$s(i)$表示至少i个锐角的。

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$s(0)=C_{n-1}^{m-1}$，显然。

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$s(1)$的话枚举一个点x，
假设$a[x]+a[x+1]>=p$

$1.a[x]<=p-1$
设$a[x]=h$则$a[x+1]>=p-h$

视作先把$a[x-1]$减了一个$p-h-1$，把a[x]剃掉

$=C_{n-(p-1)-1}^{m-2}\ast (p-1)$

$2.a[x]>=p$
那么先把$a[x]$减掉一个(p-1)就行了。

$=C_{n-(p-1)-1}^{m-1}$

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发现三个必须相邻
设为$a[x-1],a[x],a[x+1]$

$1.$$a[x]<=p-1$
道理相同，设$a[x]=h$，则$a[x-1],a[x+1]>=p-h$

视作减掉$2\ast (p-h-1)$

$={\sum }_{h=1}^{p-1}{C}_{n-2\ast (p-h-1)-h-1}^{m-2}$
$={\sum }_{h=1}^{p-1}{C}_{n-2\ast p+2-1+h}^{m-2}$

我们有:${\sum }_{i=0}^a{C}_i^b=C_{a+1}^{b+1}$，类似的：
考虑意义，补一个$a[m]=p-h$,则$=C_{n-p+2-1}^{m-1}$

$2.a[m]>=p$
同上的2

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发现只有m=3才有解，并且是m=2的1情况。

end.

Code:

#include
#define pr printf
#define ll long long
#define fo(i, x, y) for(int i = x; i <= y; i ++)
#define fd(i, x, y) for(int i = x; i >= y; i --)
using namespace std;

const int N = 1e6 + 5;

int T, n, m, k, ans;
ll fac[N], nf[N];

const int mo = 1000109107;

ll ksm(ll x, ll y) {
	ll s = 1;
	for(; y; y /= 2, x = x * x % mo)
		if(y & 1) s = s * x % mo;
	return s;
}

ll C(int n, int m) {
	if(n < m || n < 0 || m < 0) return 0;
	return fac[n] * nf[m] % mo * nf[n - m] % mo;
}

ll f[4];

ll s(int k) {
	int p = n + 1 >> 1;
	int x = n / 2;
	if(k == 0) {
		return C(n - 1, m - 1);
	} else
	if(k == 1) {
		return (C(n - p, m - 2) * (p - 1) % mo + C(n - p, m - 1)) % mo * m % mo;
	} else
	if(k == 2) {
		return (C(n - p + 1, m - 1) + C(n - p, m - 1)) % mo * m % mo;
	} else {
		if(m != 3) return 0;
		return C(n - p + 1, m - 1) % mo;
	}
}

int main() {
	freopen("polygon.in", "r", stdin);
	freopen("polygon.out", "w", stdout);
	n = 1e6;
	fac[0] = 1; fo(i, 1, n) fac[i] = fac[i - 1] * i % mo;
	nf[n] = ksm(fac[n], mo - 2); fd(i, n, 1) nf[i - 1] = nf[i] * i % mo;
	scanf("%d", &T);
	fo(ii, 1, T) {
		scanf("%d %d %d", &n, &m, &k);
		if(k > 3) { pr("0\n"); continue;}
		ll ans = 0;
		fo(i, k, 3) ans += (i - k & 1 ? -1 : 1) * C(i, k) * s(i) % mo;
		ans = (ans % mo * n % mo * ksm(m, mo - 2) % mo + mo) % mo;
		pr("%lld\n", ans);
	}
}