数据结构-树（基本概念整合）
树是最优美的形状（世间万物皆有其树结构）
①树的基本概念
树（Tree）是n（n>=0）个结点的有限集。
在任意一棵非空树中：
（1）有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；
（2）当n>1时，其余结点可分为m（m>0）个互不相交的有限集T1，T2，...，Tn，其中每个集合本身又是一棵树，并称为根的子树（SubTree）
层次 树
1 A
/ | \
2 B C D
/ \ | / | \
3 E F G H I J
/ \ |
4 K L M
★树的结点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。
（1）度
结点拥有的子树树称为结点的度（Degree）如：上图A的度为3，C的度为1，F的度为0。
度为0的结点称为叶子（Leaf）或终端结点，如：上图K,L,F,G,M,I,J都是树的叶子
度不为0的结点称为非终端结点或分支结点，如：上图A,B,C,D,E,H
★树的度是树内各节点的度的最大值，如：上图的树的度为 3 。
（2）结点（家谱图）
结点的子树的根称为该结点的孩子（Child），相应地，该结点称为孩子的双亲（Parent）如：上图D是A的孩子，A是D的双亲。
同一个双亲的孩子叫兄弟（Sibling）如：上图H,I,J为互为兄弟
其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。如上图G与E、F、H、I、J互为堂兄弟
结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点。如：上图M的祖先为A、D、H
（3）层次，深度（你家几代同堂啊？）
结点的层次（Level）从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层，
树中结点的最大层次成为树的深度（Depth）或高度。如：上图树的深度为4
（4）有序树与无序树（长子，次子。。）
树中结点的各子树看成从左至右是有次序的（即不能互换），则称该树为有序树，否则成为无序树。
有序树中最左的子树的根称为第一个孩子，最右边的称为最后一个孩子。（毕竟有序，排好了谁是老大，谁是老二，长兄有序嘛）
★森林（Forest）是m（m>=0）棵互不相交的树的集合。对树中每个结点而言，其子树的集合即为森林。
由此也可以森林和树相互递归的定义来描述树。
②二叉树
1、二叉树的定义及其主要特征
二叉树（Binary Tree）是另一种树形结构，
★二叉树的特点是：（1）每个结点至多只有两棵子树（即二叉树中不存在度大于2的结点），
（2）二叉树的子树有左右之分，其次序不能随意颠倒。
二叉树要么为空，要么是由一个根结点加上两棵分别称为左子树和右子树的，互不相交的二叉树组成。
★二叉树的五种形态
| | A | A | A
Φ | A | B | B C | B
（1） | （2） | （3） | （4） | （5）
★二叉树的性质
（性质一）在二叉树的第 i 层上至多有 2^(i-1)个结点 （i >=1）
第一层 ：1(2^0) 第二层：2(2^1) 第三层：4(2^2) 第四层：8(2^3)
（性质二）深度为 k 的二叉树至多有2^k -1个结点（k>=1）
由性质一得：第k层，2^k - 1 个结点
1+2+2^2+....+2^(k-1) = ( 1 - 2^k)/(1-2) = 2^k - 1
（性质三）★对任何一棵二叉树 T ，如果其终端结点数位n0，度为2的结点数位n2，则n0=n2+1。
式一： n = n0 + n1 + n2 （结点总数 等于 度为0 加 度为1 加 度为2）
式二： n = n0 + 2*n2 +1（n = 分支总数+1 ；分支总数 = n1+n2 （分支是由度为1，度为2的结点射出的））
式二 - 式一得： n0 = n2 + 1
★完全二叉树
一棵深度为 k 且有2^k - 1个结点的二叉树为满二叉树
（性质一）具有n个结点的完全二叉树的深度为 」 log 2 n」+1
由普通的二叉树性质二得：深度为k，结点数最多2^k - 1个，那么log一下就出来了
（性质二）如果对一棵有n个结点的完全二叉树（其深度为」 log 2 n」+1 ）的结点按层序编号（从第一层到最后一层，每层从左到右），对任一结点i（1<= i <=n）有
（1）如果 i =1，则结点 i 是二叉树的根，无双亲；
如果 i >1，则其双亲Parent( i ) 是结点 」i / 2」
（2）如果2*i >n，则结点 i 无左孩子（结点 i 为叶子节点） ；否则其左孩子LChild( i )是结点2*i。
（3）如果2*i+1>n，则结点 i 无右孩子；否则其右孩子RChild( i )是结点2*i+1。
【这个性质，对于建立二叉树，有着非凡的意义】
且看下面这个完全二叉树：
1
/ \
2 3 [ i / 2 ]
/ \ / \ / \
4 5 6 7 i i+1
/ \ / \ / \ / \ / \ / \
8 9 10 11 12 13 14 15 2 i 2 i+1 2 i+2 2 i+3
【性质二通俗版】从下往上看：结点1是根，没双亲；其他点的双亲是 i / 2 取下值
从上往下看：左孩子 是根节点的两倍（偶数），右孩子是根节点的两倍+1（奇数）
2、二叉树的顺序存储结构和链式存储结构
顺序存储结构：
#define MAX_TREE_SIZE 100 //二叉树最大结点数
typedef TElemTyle SqBiTree[MAX_TREE_SIZE]; //0号单元存储根节点
SqBiTree bt;[1] [2] [3] [4] [5] [0] [0] [0] [0] [6] [7] [8]
链式存储结构
typedef struct BiTNode{
TElemType date;
struct BiTNode *lchild,*rchild;//左右孩子指针
}BiTNode,*BiTree;/
[ ] [B] [ ]
/ \
[^] [C] [^] [ ] [D] [ ]
/ \
[^] [E] [ ] [^] [F] [^]
\
[^] [G] [^]
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不同的建二叉树技巧：
【链式建树】【树形选择排序】【线段树——简单类型建树（int，char）】【线段树——结构体建树（详解推荐）】
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3、二叉树的遍历：传送门（建树，前序，中序，后序，中序非递归，深度，叶子数，节点数）
（1）先序遍历二叉树 （根>左>右）
（2）中序遍历二叉树 （左>根>右）
（3）后序遍历二叉树 （左>右>根）
（4）层次遍历二叉树
4、线索二叉树的基本概念和构造（传送门）
[ lchild ] [ LTag ] [ data ] [ RTag ] [ rchild ]
LTag = { 0 : lchild 域指示结点的左孩子 1 : lchild 域指示结点的前驱 }
RTag = { 0 : rchild 域指示结点的右孩子 2 : rchild 域指示结点的后继 }
以这种结点结构构成的二叉链表作为二叉树的存储结构，叫做线索链表，其中，指向结点前驱和后继的指针，叫做线索。
加上线索的二叉树叫做线索二叉树（Threaded Binary Tree）
对二叉树以某种次序遍历使其变成线索二叉树的过程叫做线索化
（1）前序线索二叉树
（2）中序线索二叉树
（3）后序线索二叉树
③树、森林
1、树的存储结构
A
↙ ↘
B C
↙ ↙ ↘
D E F
↙ ↓ ↘ ↘
G H I J
一、双亲表示法（自下而上）
我们假设以一组连续空间存储树的结点，同时在每个结点中，附设一个指示器指示其双亲结点在数组中的位置。
每个结点：【data】【parent】
其中data：数据域，存储结点的数据信息。parent：指针域，存储该结点的双亲在数组找那个的下标。
#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef int TElemType; //树节点的数据类型
typedef struct PTNode{
TElemType data; //结点数据
int parent; //双亲位置
}PTNode;
typedef struct{
PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE]; //结点数组
int r,n; //根的位置和结点数
}PTree;typedef struct PTrNode{
TElemType data; //结点数据
struct PTrNode *parent; //指向双亲的指针
}PTrNode;
| 下标 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| data | A | B | C | D | E | F | G | H | I | J |
| parent | -1 | 0 | 0 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | 4 |
二、孩子表示法
树中每个结点可能有多课子树，可以考虑用多重链表，即每个结点有多个指针域，其中每个指针指向一棵子树的根节点，这种方法叫做多重链表表示法。
方案一：
每个结点【data】【child1】【child2】【child3】....【childd】
其中data是数据域，child1~childd是指针域，用来指向该结点的孩子结点。指针个数为树的度数（每个结点的孩子结点个数为树的度，即最多大的孩子结点个数）
【缺点：这样很浪费空间】
方案二：
每个结点【data】【degree】【child1】【child2】【child3】....【childd】
其中data是数据域，degree是度域，child1~childd是指针域，用来指向该结点的孩子结点。
【这样就能减少空指针的浪费】
方案三：
用两种结点结构：
表头数组的表头节点：【data】【firstchild】其中：data是数据域，存储某结点的数据信息。firstchild是头指针域，存储孩子链表的头指针。
孩子链表的孩子结点：【child】【next】其中：child是数据域，存储某个节点在表头数组中的下标，next是指针域，指向下一个孩子结点的指针。
#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef int TElemType; //树节点的数据类型
typedef struct CTNode{ //孩子结点
int child;
struct CTNode *next;
}*ChildPrt;
typedef struct{ //表头结构
TElemType data;
ChildPtr firstchild;
}CTBox;
typedef struct{ //树结构
CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE]; //结点数组
int r,n; //根的位置和结点数
}CTree;0 【A】 【 】 → → → 【 1 】 【 】 → → → 【 2 】 【 ^ 】
1 【B】 【 】 → → → 【 3 】 【 ^ 】
2 【C】 【 】 → → → 【 4 】 【 】 → → → 【 5 】 【 ^ 】
3 【D】 【 】 → → → 【 3 】 【 】 → → → 【 7 】 【 】 → → 【 8 】 【 ^ 】
4 【E】 【 】 → → → 【 9 】 【 ^ 】
5 【F】 【 * 】
6 【G】 【 * 】
7 【H】 【 * 】
8 【I 】 【 * 】
9 【J】 【 * 】
双亲孩子表示法：（结合上面两种表示法）
下标 data parent firstchild child next
0 【A】 【 -1 】 【 】 → → → 【 1 】 【 】 → → → 【 2 】 【 ^ 】
1 【B】 【 0 】 【 】 → → → 【 3 】 【 ^ 】
2 【C】 【 0 】 【 】 → → → 【 4 】 【 】 → → → 【 5 】 【 ^ 】
3 【D】 【 1 】 【 】 → → → 【 3 】 【 】 → → → 【 7 】 【 】 → → 【 8 】 【 ^ 】
4 【E】 【 2 】 【 】 → → → 【 9 】 【 ^ 】
5 【F】 【 2 】 【 * 】
6 【G】 【 3 】 【 * 】
7 【H】 【 3 】 【 * 】
8 【I 】 【 3 】 【 * 】
9 【J】 【 4 】 【 * 】
三、孩子兄弟表示法
结点结构：【data】【firstchild】【rightsib】
其中data为数据域，firstchild为指针域，存储该节点的第一个孩子结点存储地址，rightsub是指针域，存储该节点的右兄弟结点的存储地址。
typedef int TElemType; //树节点的数据类型
typedef struct CSNode{
TElemType data;
struct CSNode * firstchild,*rightsib;
}CSNode , *CSTree;↓
【 B 】【 】【 ^ 】 → → → → → → → → → → 【 C 】【 】【 ^ 】
↓ ↓
【 D 】【 】【 ^ 】 【 E 】【 】【 】 → 【 F 】【 ^ 】【 ^ 】
↓ ↓
【 G 】【 ^ 】【 】 → 【 H 】【 ^ 】【 】 → 【 I 】【 ^ 】【 ^ 】 【 J 】【 ^ 】【 ^ 】
斜着看，他其实是一棵二叉树。（根据代码也可以看出来）
根据二叉树的特性来处理树
2、森林和二叉树的转换
一、森林转换成二叉树
如果F={ T1，T2，....，Tm }是森林，则可按如下规则转换成一棵二叉树B=（root，LB,RB）
（1）若F为空，即m=0，则B为空树。
（2）若F非空，即m≠0，则B的根root即为森林中第一棵树的根ROOT（T1）；
B的左子树LB是从T1中根结点的子树森林F1= { T11，T12，...，T1m1} 转换而成的二叉树
B的右子树RB是从森林F‘ = { T2，T3,.....，Tm}转换而来的二叉树。
二、二叉树转换成森林
如果B=（root，LB,RB）是一棵二叉树，则可按如下规则转换成森林F={ T1，T2，....，Tm }
（1）若B为空，则F为空。
（2）若B非空，则F中第一棵树T1的根root即为二叉树B的根root；
T1中根结点的子树森林F1是由B的左子树LB转换而成的森林；
F中除T1之外其余树组成的森林F‘ = { T2，T3,.....，Tm}是由B的右子树RB转换而成的森林。
3、树与森林的遍历
一、先序遍历森林
若森林非空，则可按下述规则遍历之；
（1）访问森林中第一棵树的根结点；
（2）先序遍历第一棵树中根结点的子树森林；
（3）先序遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林。
二、中序遍历森林
若森林非空，则可按下述规律遍历之；
（1）中序遍历森林中第一棵树的根结点的子树森林；
（2）访问第一棵树的根结点；
（3）中序遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林。
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特别的建树技巧
【并查集建树（利用数组的一对多特性）双亲表示法】
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④树与二叉树的应用
1、二叉排序树
2、平衡二叉树
3、哈夫曼树和哈夫曼编码。