字典序算法详解

一、字典序

字典序，就是按照字典中出现的先后顺序进行排序。

1、单个字符

在计算机中，25个字母以及数字字符，字典排序如下：

'0' < '1' < '2' < ... < '9' < 'a' < 'b' < ... < 'z'

比如在 python 中， '0' < '9' < 'a' < 'z' 这个表达式就会返回 True。

2、多个字符

这是单个字符的大小情况，那么如果是两个字符串比较大小呢？在计算机中，两个字符串比较大小，是按照从左到右的顺序进行比较，如果第1位相等，就比较第2位，直至有一位可以比较出大小来，则不再继续比较。

使用计算机属于来描述：

对于任意两个序列 (a,b) 和 (a’,b’)，字典序定义为： (a,b) ≤ (a′,b′) 当且仅当 a < a′ 或 (a = a′ 且 b ≤ b′).

比如在 python 中，'ab' < 'ac'、'abc' < 'ac'、'abc' < 'abcd' 都会返回 True。

3、全排列的字典序

给定多个字符，可以按照任意顺序进行排列，所有排列称为全排列。

每一种排列对应一个字符串，如果这些字符串按照字符串大小的顺序进行排序，那么就这种排序是基于字典序的全排列。

比如给定三个字符 a,b,c，则他们基于字典序的全排列为：
abc > acb > bac > bca > cab > cba

二、字典序算法

字典序算法用来解决这样一个问题：给定其中一种排列，求基于字典序的下一种排列。

比如给定一种排列为 abc，则其基于字典序的下一种排列为 acb。

要求下一种排列既要比原排列大，又不能有第三种排列位于他俩之间。即下一种排列为大于原排列的最小排列。

以输入为 358764 为例，字典序算法的步骤：
1、从原排列中，从右至左，找到第一个左邻小于右邻的字符，记左邻位置为 a。
示例中 a=1，list[a] = 5。
2、重新从右至左，找到第一个比 list[a] 大的字符，记为位置为 b。
示例中 b=4，list[b] = 6。
3、交换 a 和 b 两个位置的值。
示例变为了 368754。
4、将 a 后面的数，由小到大排列。
示例变为了 364578。

算法结束，输出 364578。

注意：
1、第1步中，如果找不到左邻小于右邻的数，则说明给定的排列已经是全排列的最后一个排列了，则直接返回全排列的第一个排列，即所有排列中最小的排列，形成一个循环。
2、在第3步交换前，a 后面的数是按照从大到小进行排列（否则第1步中就可以找到左邻小于右邻的数了）。
3、在交换之后，a 后面的数仍然是按照从大到小排列的，尽管 b 位置的值变成了 list[a]，但是由于 b 位置是第一个比 list[a] 大的，因此交换之后 list[a] 仍然比左邻小，比右邻大。
4、既然 a 后面的数是从大到小排列的，那么第4步的排序，直接将 a 后面的数倒序即可。

算法的时间复杂度为 O(n) + O(n) + O(n) = O(n)。

1,2,3 的全排列的示例：

python实现

def nextPermutation(nums):
    """
    :type nums: List[int]
    :rtype: void Do not return anything, modify nums in-place instead.
    寻找基于字典序的下一个排列。   
    """
    l = len(nums)
    
    # 从右向左查询第一个小于右邻的元素
    for i in range(l-2, -1, -1):
        if nums[i+1] > nums[i]:
            break
    else: # 没有找到，说明为降序排列
        nums[:] = nums[::-1]
        return
    
    # 从右向左查询第一个大于nums[i]的元素
    for j in range(l-1, -1, -1):
        if nums[j] > nums[i]:
            break
    
    # 交换i和j
    nums[i], nums[j] = nums[j], nums[i]            
    
    # i后面的序列进行反转
    nums[i+1:l] = nums[-1:i:-1]
    
if '__main__' == __name__:
    nums = [3,2,1]
    nextPermutation(nums)
    print(nums)