【2】渐进符号、递归及解

渐进符号

渐进符号介绍

• $O()$，$f(n)=O(g(n))$表示存在适当的常数$c>0,n_0>0$，使得$f(n)\le cg(n)$，比如$n^2=O(n^3)$
• $\Omega ()$，$\Omega (g(n))=f(n)$表示存在适当的常数$c>0,n_0>0$，使得$0\le cg(n)\le f(n)$，比如$\sqrt{n}=\Omega (lgn)$
• $\Theta ()=O(g(n))\cap \Omega (g(n))$，忽略常数项的相等，比如$n^2+O(n)=\Theta (n^2)$
• $o()$，$f(n)=o(g(n))$表示对于任意$c$存在适当的常数$n_0>0$，使得$f(n)<(n)$，比如$2n^2=o(n^3)$，$\frac{n^2}{2}=\Theta (n^2)$不是$o、\omega$关系，因为它是严格的$n^2$
• $\omega ()$，$\omega (g(n))=f(n)$表示对于任意$c$存在适当的常数$n_0>0$，使得$0<cg(n)<f(n)$，比如$\sqrt{n}=\omega (lgn)$

解递归

代换法(Substitution method)

介绍

• 猜解的形式
• 按照数学归纳法验证是否正确
• 设法找出解

举例

比如，$T(n)=4T(n/2)+n$，猜想$T(n)=O(n^3)$，则在$k<n$下$T(k)\le c{k}^3$，利用数据归纳证明$T(n)\le c{n}^3$。

下面尝试证明更紧的上界$O(n^2)$

所以不能小于等于$n^2$，但从直观上看$n^2$的形式应该成立，所以考虑

递归树(Recursion-tree method)

介绍

• 执行成本高
• 可以辅助代换法第一步猜想解
• 有点不可靠，中间过程迭代容易有点问题

举例

$T(n)=T(n/4)+T(n/2)+n^2$，
用树的形式展开递归

主方法(master method)

介绍

只能用于特定的递归式$T(n)=aT(n/b)+f(n),a\ge 1,b>1,f$函数渐进趋正（对足够大的n,$f(n)$是正的）。
三种常见的情况：

举例

推导