矩阵的运算(1)

矩阵的三种基本运算：

• 矩阵的加法
  对于两个同型矩阵 A A 和 B B
  
  A=⎡⎣⎢⎢⎢⎢a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋯a1na2n⋮amn⎤⎦⎥⎥⎥⎥,B=⎡⎣⎢⎢⎢⎢b11b21⋮bm1b12b22⋮bm2⋯⋯⋯b1nb2n⋮bmn⎤⎦⎥⎥⎥⎥ A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ] , B = [ b 11 b 12 ⋯ b 1 n b 21 b 22 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ b m 1 b m 2 ⋯ b m n ]
  定义矩阵
  ⎡⎣⎢⎢⎢⎢a11+b11a21+b21⋮am1+bm1a12+b12a22+b22⋮am2+bm2⋯⋯⋯a1n+b1na2n+b2n⋮amn+bmn⎤⎦⎥⎥⎥⎥ [ a 11 + b 11 a 12 + b 12 ⋯ a 1 n + b 1 n a 21 + b 21 a 22 + b 22 ⋯ a 2 n + b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 + b m 1 a m 2 + b m 2 ⋯ a m n + b m n ]
  为同型矩阵 A A 与 B B 的和，记做 A+B A + B .
  其中，若 A+B=0 A + B = 0 ，则 A A 和 B B 互为负矩阵，记做 B=−A B = − A .
  定义矩阵减法为
  C−D=C+(−D) C − D = C + ( − D )
• 矩阵的数乘
  用任意复数 k k 乘一个矩阵 A A （我们只讨论复数域里的情况），将矩阵中的每一个元素 aij a i j 和 k k 相乘，得到一个和 A A 同型的矩阵：
  k⋅A=⎡⎣⎢⎢⎢⎢k⋅a11k⋅a21⋮k⋅am1k⋅a12k⋅a22⋮k⋅am2⋯⋯⋯k⋅a1nk⋅a2n⋮k⋅amn⎤⎦⎥⎥⎥⎥ k ⋅ A = [ k ⋅ a 11 k ⋅ a 12 ⋯ k ⋅ a 1 n k ⋅ a 21 k ⋅ a 22 ⋯ k ⋅ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ k ⋅ a m 1 k ⋅ a m 2 ⋯ k ⋅ a m n ]
• 矩阵的乘法
  如果一个矩阵的列数和另一个矩阵的行数相等
  A=⎡⎣⎢⎢⎢⎢a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋯a1sa2s⋮ams⎤⎦⎥⎥⎥⎥,B=⎡⎣⎢⎢⎢⎢b11b21⋮bs1b12b22⋮bs2⋯⋯⋯b1nb2n⋮bsn⎤⎦⎥⎥⎥⎥ A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 s a 21 a 22 ⋯ a 2 s ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m s ] , B = [ b 11 b 12 ⋯ b 1 n b 21 b 22 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ b s 1 b s 2 ⋯ b s n ]
  则两个矩阵可以进行矩阵的乘法运算，乘积为一个 m×n m × n 矩阵
  A×B=C=⎡⎣⎢⎢⎢⎢c11c21⋮cm1c12c22⋮cm2⋯⋯⋯c1nc2n⋮cmn⎤⎦⎥⎥⎥⎥ A × B = C = [ c 11 c 12 ⋯ c 1 n c 21 c 22 ⋯ c 2 n ⋮ ⋮ ⋮ c m 1 c m 2 ⋯ c m n ]
  其中 C C 中的元素
  cij=∑k=1saikbkj,i=1,2,⋯m;j=1,2,⋯,n c i j = ∑ k = 1 s a i k b k j , i = 1 , 2 , ⋯ m ; j = 1 , 2 , ⋯ , n

注意：只有当 A A 的列数等于 B B 的行数时，才能进行乘法运算.得到的乘积矩阵 C C 行数和 A A 相等，列数和 B B 相等.

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思考：矩阵乘法是否满足类似于复数的交换律，结合律，分配律？