Andrew Ng机器学习课程10

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a example

如果hypothesis set中的hypothesis是由 d 个real number决定的，那么用64位的计算机数据表示的话，那么模型的个数一共有 k=264d ，那么训练样本的数量由上一节课的公式可推出训练样本的数量为：

m≥O(dγ2log1δ)

。为保证ERM在这样的hypothesis set上能够达到一定的error bound，训练样本的数量需要达到上式得要求。

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VC dimension

假定有d个点的数据集S，hypothesis set H能够shatter（打散）S，即将S中的数据点分为任意的标签，就说H 能 shatter S 。二维平面上的没有线性分类器能够shatter 4个数据点的。
然后定义了VC dimension，指的就是H能够打散的S中的最大数据点数，只要存在就行，不一定包含所有这些数据点（比如在一条直线上）的情况。再解释就是，只能shatter VC dimension个数据点，而不能shatter 任意一个增加一个的数据点。推广一下，对于n维度的线性分类器，其VC dimension是n+1。

对于hypothesis set 可以有无限多个hypothesis，但是能够shatter的数量却是有限的VC dimension，这就可以用来给出一个generalization error bound，解释学习算法的有效性。得出m的阶数必须至少跟vc dimension d的阶数相同。实际上VC dimension大致跟参数的个数相近，或者呈线性关系。

问题：为何SVM不过拟合？
具有large margin的classifier通常有较低的VC dimension，主要是因为具有这样large margin的hypothesis能够shatter的点数要比正常的要少，也就说明了VC dimension较少。 而在理论上数学上的分析，large margin使得模型的VC dimension有一个upper bound，而且这个upper bound跟X的维度无关，也就说即使将X转换为无限维度，也不影响其VC dimension。

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算法横向连接：

logistic regression 和SVM都是两种对empirical risk minimization 算法的近似。其实就是选择误差函数是那种，我记得台大林轩田的解释就比较清楚，回过头来再看看。

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Model Selection

比如choose the 多相似的次数，局部线性回归中的窗口宽度，或者是SVM中的L1 regularizer的C的大小等。
下面将如何进行选择：
比较所有的model中training error最小的？too stupid
hold-out cross validation：
70%作为training set，然后30%作为validation set，或者交叉验证等。通常样本数据是非常宝贵的，比较难的的，对于留出30%的数据来进行model selection是比较浪费的。
k-fold CV
将所有的数据分为k个部分，

leave one out CV，当数据量非常少时，才进行这样的操作，训练时间比较长。

VC dimension的这个bound实际上是非常loose的，只具有指导意义。

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feature selection

forward search algorithm：
贪婪算法类似，每次选择剩余中最好的特征，从一个开始，选择最好的validation error的feature，然后加入F中，然后从剩余的中在寻找与F中已有的合在一起具有最好的validation error的特征加入F中，就这样一步一步的选出k个最好的特征。

这个算法被叫做wrapper feature selection，

backward search algorithm：
每次从F中删除一个最没用的特征

这不一定能找到最好的特征子集。对于文本特征，特征特别多，

filter feature selection method
对于特征 xi 对于y的影响度，比如相关度，correct（ xi,y ）,MI( xi,y )，定义可以参看《数学之美》中的一些文本处理的章节。K-L divergence，mutual information，两者之间的p(x,y)与p(x)p(y)的KL divergence，如果是比较大，则x能够tell一些y的information，如果不相干，或者独立，则两者距离特别近，，选择k个最大相关度或者互信息的特征，而k的选择依然是通过cross validation来选择，top 1，top 2,等等

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2015-9-11 艺少