动态规划、记忆化搜索、Dijkstra算法的总结

动态规划

       动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中,可能会有许多可行解。每一个解都对应于一个值,我们希望找到具有最优值的解。动态规划算法与分治法类似,其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题,然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是,适合于用动态规划求解的问题,经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题,则分解得到的子问题数目太多,有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案,而在需要时再找出已求得的答案,这样就可以避免大量的重复计算,节省时间。我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到,只要它被计算过,就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路。具体的动态规划算法多种多样,但它们具有相同的填表格式。

动态规划一般可分为线性动规,区域动规,树形动规,背包动规四类。
举例:
线性动规:拦截导弹,合唱队形,挖地雷,建学校,剑客决斗等;
区域动规:石子合并, 加分二叉树,统计单词个数,炮兵布阵等;
树形动规:贪吃的九头龙,二分查找树,聚会的欢乐,数字三角形等;
背包问题:01背包问题,完全背包问题,分组背包问题,二维背包,装箱问题,挤牛奶( 同济ACM第1132题)等

适用条件

任何思想方法都有一定的局限性,超出了特定条件,它就失去了作用。同样,动态规划也并不是万能的。适用动态规划的问题必须满足最优化原理和无后效性。
1. 最优化原理(最优子结构性质) 最优化原理可这样阐述:一个最优化策略具有这样的性质,不论过去状态和决策如何,对前面的决策所形成的状态而言,余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之,一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足最优化原理又称其具有最优子结构性质。
2. 无后效性将各阶段按照一定的次序排列好之后,对于某个给定的阶段状态,它以前各阶段的状态无法直接影响它未来的决策,而只能通过当前的这个状态。换句话说,每个状态都是过去历史的一个完整总结。这就是无后向性,又称为无后效性。
3.子问题的重叠性 动态规划将原来具有指数级时间复杂度的 搜索算法改进成了具有多项式时间复杂度的算法。其中的关键在于解决冗余,这是动态规划算法的根本目的。动态规划实质上是一种以空间换时间的技术,它在实现的过程中,不得不存储产生过程中的各种状态,所以它的空间复杂度要大于其它的算法。

记忆化搜索   记忆化搜索=搜索的形式+动态规划的思想

       
记忆化搜索:算法上依然是搜索的流程,但是搜索到的一些解用 动态规划的那种思想和模式作一些保存。
一般说来,动态规划总要遍历所有的状态,而搜索可以排除一些无效状态。
更重要的是搜索还可以剪枝,可能剪去大量不必要的状态,因此在空间开销上往往比动态规划要低很多。
记忆化算法在求解的时候还是按着自顶向下的顺序,但是每求解一个状态,就将它的解保存下来,
以后再次遇到这个状态的时候,就不必重新求解了。
这种方法综合了搜索和动态规划两方面的优点,因而还是很有实用价值的
       

Dijkstra算法

迪杰斯特拉算法是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法,解决的是有向图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。

原理

1.首先,引入一个辅助向量D,它的每个分量 D
   
表示当前所找到的
动态规划、记忆化搜索、Dijkstra算法的总结_第1张图片 Dijkstra算法运行动画过程
从起始点
   
(即源点
   
)到其它每个顶点
   
的长度。
例如,D[3] = 2表示从起始点到顶点3的路径相对最小长度为2。这里强调相对就是说在算法执行过程中D的值是在不断逼近最终结果但在过程中不一定就等于长度。 [1]  
2.D的初始状态为:若从
   
   
有弧(即从
   
   
存在连接边),则D
   
为弧上的权值(即为从
   
   
的边的权值);否则置D
   
为∞。
显然,长度为 D
   
= Min{ D |
   
∈V } 的路径就是从
   
出发到顶点
   
的长度最短的一条路径,此路径为(
   
)。
3.那么,下一条长度次短的是哪一条呢?也就是找到从源点
   
到下一个顶点的最短路径长度所对应的顶点,且这条最短路径长度仅次于从源点
   
到顶点
   
的最短路径长度。
假设该次短路径的终点是
   
,则可想而知,这条路径要么是(
   
),或者是(
   
)。它的长度或者是从
   
   
的弧上的权值,或者是D
   
加上从
   
   
的弧上的权值。
4.一般情况下,假设S为已求得的从源点
   
出发的最短路径长度的顶点的集合,则可证明:下一条次最短路径(设其终点为
   
)要么是弧(
   
),或者是从源点
   
出发的中间只经过S中的顶点而最后到达顶点
   
的路径。
因此,下一条长度次短的的最短路径长度必是D
   
= Min{ D
   
|
   
∈V-S },其中D
   
要么是弧(
   
)上的权值,或者是D
   
(
   
∈S)和弧(
   
,
   
)上的权值之和。
算法描述如下:
1)令arcs表示弧上的权值。若弧不存在,则置arcs为∞(在本程序中为MAXCOST)。S为已找到的从
   
出发的的终点的集合,初始状态为空集。那么,从
   
出发到图上其余各顶点
   
可能达到的长度的初值为D=arcs[Locate Vex(G,
   
)],
   
∈V;
2)选择
   
,使得D
   
=Min{ D |
   
∈V-S } ;
3)修改从
   
出发的到集合V-S中任一顶点
   
的最短路径长度。 [1]  

问题描述

在 无向图 G=(V,E) 中,假设每条边 E[i] 的长度为 w[i],找到由顶点 V0 到其余各点的最短值。 [2]  

算法思想

按路径长度 递增次序产生算法:
把顶点集合V分成两组:
(1)S:已求出的顶点的集合(初始时只含有源点V0)
(2)V-S=T:尚未确定的顶点集合
将T中顶点按递增的次序加入到S中,保证:
(1)从源点V0到S中其他各顶点的长度都不大于从V0到T中任何顶点的最短路径长度
(2)每个顶点对应一个距离值
S中顶点:从V0到此顶点的长度
T中顶点:从V0到此顶点的只包括S中顶点作中间顶点的最短路径长度
依据:可以证明V0到T中顶点Vk的,或是从V0到Vk的直接路径的权值;或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和
( 反证法可证)
求最短路径步骤
算法步骤如下:
G={V,E}
1. 初始时令 S={V0},T=V-S={其余顶点},T中顶点对应的距离值
若存在,d(V0,Vi)为弧上的权值
若不存在,d(V0,Vi)为∞
2. 从T中选取一个与S中顶点有关联边且权值最小的顶点W,加入到S中
3. 对其余T中顶点的距离值进行修改:若加进W作中间顶点,从V0到Vi的距离值缩短,则修改此距离值
重复上述步骤2、3,直到S中包含所有顶点,即W=Vi为止

算法实现

下面是该算法的C语言实现 [1]  
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#include
#include
#define max 11000000000
inta[1000][1000];
intd[1000]; //d表示某特定边距离
intp[1000]; //p表示永久边距离
inti,j,k;
intm; //m代表边数
intn; //n代表点数
intmain()
{
scanf ( "%d%d" ,&n,&m);
intmin1;
intx,y,z;
for (i=1;i<=m;i++)
{
scanf ( "%d%d%d" ,&x,&y,&z);
a[x][y]=z;
a[y][x]=z;
}
for (i=1;i<=n;i++)
d[i]=max1;
d[1]=0;
for (i=1;i<=n;i++)
{
min1=max1;
for (j=1;j<=n;j++)
if (!p[j]&&d[j]
{
min1=d[j];
k=j;
}
p[k]=j;
for (j=1;j<=n;j++)
if (a[k][j]!=0&&!p[j]&&d[j]>d[k]+a[k][j])
d[j]=d[k]+a[k][j];
}
for (i=1;i
printf ( "%d->" ,p[i]);
printf ( "%d\n" ,p[n]);
return0;
}
大学经典教材<<数据结构>>(C语言版 严蔚敏 吴为民 编著) 中该算法的实现
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/*
测试数据 教科书 P189 G6 的邻接矩阵 其中 数字 1000000 代表无穷大
6
1000000 1000000 10 100000 30 100
1000000 1000000 5 1000000 1000000 1000000
1000000 1000000 1000000 50 1000000 1000000
1000000 1000000 1000000 1000000 1000000 10
1000000 1000000 1000000 20 1000000 60
1000000 1000000 1000000 1000000 1000000 1000000
结果:
D[0]   D[1]   D[2]   D[3]   D[4]   D[5]
  0   1000000   10     50     30     60
*/
#include 
#include 
#define MAX 1000000
using  namespace  std;
int  arcs[10][10]; //邻接矩阵
int  D[10]; //保存最短路径长度
int  p[10][10]; //路径
int  final[10]; //若final[i] = 1则说明 顶点vi已在集合S中
int  n = 0; //顶点个数
int  v0 = 0; //源点
int  v,w;
void  ShortestPath_DIJ()
{
      for  (v = 0; v < n; v++)  //循环 初始化
      {
           final[v] = 0; D[v] = arcs[v0][v];
           for  (w = 0; w < n; w++) p[v][w] = 0; //设空路径
           if  (D[v] < MAX) {p[v][v0] = 1; p[v][v] = 1;}
      }
      D[v0] = 0; final[v0]=0;  //初始化 v0顶点属于集合S
      //开始主循环 每次求得v0到某个顶点v的最短路径 并加v到集合S中
      for  ( int  i = 1; i < n; i++)
      {
           int  min = MAX;
           for  (w = 0; w < n; w++)
           {
                //我认为的核心过程--选点
                if  (!final[w])  //如果w顶点在V-S中
                {
                     //这个过程最终选出的点 应该是选出当前V-S中与S有关联边
                     //且权值最小的顶点 书上描述为 当前离V0最近的点
                     if  (D[w] < min) {v = w; min = D[w];}
                }
           }
           final[v] = 1;  //选出该点后加入到合集S中
           for  (w = 0; w < n; w++) //更新当前最短路径和距离
           {
                /*在此循环中 v为当前刚选入集合S中的点
                则以点V为中间点 考察 d0v+dvw 是否小于 D[w] 如果小于 则更新
                比如加进点 3 则若要考察 D[5] 是否要更新 就 判断 d(v0-v3) + d(v3-v5) 的和是否小于D[5]
                */
                if  (!final[w] && (min+arcs[v][w]
                {
                     D[w] = min + arcs[v][w];
                    // p[w] = p[v];
                     p[w][w] = 1;  //p[w] = p[v] + [w]
                }
           }
      }
}
 
 
int  main()
{
     cin >> n;
     for  ( int  i = 0; i < n; i++)
     {
          for  ( int  j = 0; j < n; j++)
          {
               cin >> arcs[i][j];
          }
     }
     ShortestPath_DIJ();
     for  ( int  i = 0; i < n; i++)  printf ( "D[%d] = %d\n" ,i,D[i]);
     return  0;
}



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