LeetCode刷题笔记--070. 爬楼梯

题目描述：

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1：

输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶
   示例 2：

输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

分析：

假设n个阶梯的走法为f(n)个，因为每一步都有两个选择，选择爬一阶或两阶，故有f(n) = f(n-1) + f(n-2)。

代码：

---

代码一：直接递归（不能通过），因为有很多重复计算

class Solution:
    memo = {1:1, 2:2}
    def climbStairs(self, n):
		def dfs(n):
		    if n < 3:
		        return n
		    else:
		        return dfs(n-1) + dfs(n-2)
		return dfs(n)

代码二：使用备忘录递归，减少重复计算。
执行用时: 60 ms, 在Climbing Stairs的Python3提交中击败了7.32% 的用户
内存消耗: 6.4 MB, 在Climbing Stairs的Python3提交中击败了79.11% 的用户

class Solution:
    memo = {1:1, 2:2}
    def climbStairs(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        
        if n in self.memo:
            return self.memo[n]
        else:
            self.memo[n] = self.climbStairs(n-1) + self.climbStairs(n-2)
        return self.memo[n]

代码三：使用动态规划，自底向上。
执行用时: 40 ms, 在Climbing Stairs的Python3提交中击败了99.86% 的用户
内存消耗: 6.4 MB, 在Climbing Stairs的Python3提交中击败了93.99% 的用户

class Solution:
    def climbStairs(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """

        cache = [1] * (n+1)
        for i in range(2, (n+1)):
            cache[i] = cache[i-1] + cache[i-2]
        return cache[n]

复杂度：

一、直接递归。时间复杂度O($n^2$)，空间复杂度O($n$)。
二、使用备忘录递归。时间复杂度O($n$)，空间复杂度O($n$)。
三、使用动态规划。时间复杂度O($n$)，空间复杂度O($n$)。