二分答案

做了好几个二分的题目了，写个总结
考虑把这个词典从中间分开，看一下中间那一页的主要单词都是啥，然后去判断我要找的单词应该在左半部分还是右半部分，再去那一部分考虑怎么找就好了。同样的，在另一部分也是要进行划分并且判断的操作。这样一直进行下去，便能很快的找到答案，而且根本不需要翻过整个词典来。
可以证明，如果一页一页的找，最多要找n次，但是用这个方法，最多找floor(log2n)次。
我们把这个方法叫做“二分答案”。顾名思义，它用二分的方法枚举答案，并且枚举时判断这个答案是否可行。但是，二分并不是在所有情况下都是可用的，使用二分需要满足两个条件。一个是有界，一个是单调。
二分答案应该是在一个单调闭区间上进行的。也就是说，二分答案最后得到的答案应该是一个确定值，而不是像搜索那样会出现多解。二分一般用来解决最优解问题。刚才我们说单调性，那么这个单调性应该体现在哪里呢？
可以这样想，在一个区间上，有很多数，这些数可能是我们这些问题的解，换句话说，这里有很多不合法的解，也有很多合法的解。我们只考虑合法解，并称之为可行解。考虑所有可行解，我们肯定是要从这些可行解中找到一个最好的作为我们的答案， 这个答案我们称之为最优解。

最优解一定可行，但可行解不一定最优。我们假设整个序列具有单调性，且一个数x为可行解，那么一般的，所有的x’(x’< x)都是可行解。并且，如果有一个数y是非法解，那么一般的，所有的y’(y’>y)都是非法解。

那么什么时候适用二分答案呢？注意到题面：使得选手们在比赛过程中的最短跳跃距离尽可能长。如果题目规定了有“最大值最小”或者“最小值最大”的东西，那么这个东西应该就满足二分答案的有界性（显然）和单调性（能看出来）。

使用一个judge判断这个解是不是可行解。如果这个解是可行解，那么有可能会有比这更优的解，那么我们就去它更优的一边（取决于队列的单调性）。反过来，如果二分到的这个解是一个非法解，就去另一个方向。因为性质，一边的解一定全都是非法解。那么我们就应该去另一边找解。整个过程看起来很像递归，实际上，这个过程可以递归写， 也可以写成非递归形式，我个人比较喜欢使用非递归形式。
放个图

答案的单调性大多数情况下可以转化为一个函数，其单调性证明多种多样，如下：

移动石头的个数越多，答案越大（NOIP2015跳石头）。
前i天的条件一定比前 i + 1 天条件更容易（NOIP2012借教室）。
满足更少分配要求比满足更多的要求更容易（NOIP2010关押罪犯）。
满足更大最大值比满足更小最大值的要求更容易（NOIP2015运输计划）。
时间越长，越容易满足条件（NOIP2012疫情控制）。

可以解决的问题

求最大的最小值（NOIP2015跳石头）。
求最小的最大值（NOIP2010关押罪犯）。
求满足条件下的最小（大）值。
求最靠近一个值的值。
求最小的能满足条件的代价。
模板

int binary()
{
    int l = 0, r = ll, mid;
    while(l < r)
      {
        mid = (l + r) >> 1;
        if(check(mid)) r = mid;  //大多数题只要改改check()即可
        else l = mid + 1;
      }
    return l;
}

或者非递归

int binary(int n)
{
    int l = 1, r = maxn, ans = 0;
    while(l <= r)
      {
        int mid = (l + r) >> 1;
        if(c[mid] > a[n]) ans = mid, l = mid + 1;  //判断条件与ans记录位置因题而异
        else r = mid - 1;
      }
    return ans;
}