最大子矩形问题学习笔记
个人博客链接
很经典的国家集训队论文：浅谈用极大化思想解决最大子矩形问题
最大子矩形问题：在一个给定的矩形网格中有一些障碍点，要找出网格内部不包含任何障碍点，且边界与坐标轴平行的最大子矩形。
悬线法 O(nm) O ( n m )
个人理解：枚举在子矩形底边上的一个点，将它尽可能地向上扩展成一条高线，然后将这条高左右尽可能地平移得到一个矩形，用此矩形更新答案。
枚举的复杂度已经达到了 O(nm) O ( n m ) ，所以我们需要预处理扩展和平移操作。
我们可以dp（或者叫递推也行）预处理：将每个点尽可能向上、向左、向右扩展到的位置存在数组 u[][],l[][],r[][] u [ ] [ ] , l [ ] [ ] , r [ ] [ ] 中（当然，存向上、向左、向右扩展的长度也行，但存位置对求答案来说更方便一点）
For i = 1 to n
For j = 1 to m
u[i][j] = (能从(i-1,j)走到(i,j)) ? u[i-1][j] : i;
l[i][j] = (能从(i,j-1)走到(i,j)) ? l[i][j-1] : j;
For j = m to 1
r[i][j] = (能从(i,j+1)走到(i,j)) ? r[i][j+1] : j;预处理后我们得到了点 (i,j) ( i , j ) 的高线。但是对于向左和向右，我们需要知道的不是每个点向左向右扩展的位置，而是每条高线向左向右扩展的位置，这个问题我们可以递推出来：
For i = 2 to n
For j = 1 to m
if 能从(i-1,j)走到(i,j)
l[i][j] = max(l[i][j], l[i-1][j]
r[i][j] = min(r[i][j], r[i-1][j]矩形面积就是 (r[i][j]−l[i][j]+1)∗(i−u[i][j]+1) ( r [ i ] [ j ] − l [ i ] [ j ] + 1 ) ∗ ( i − u [ i ] [ j ] + 1 )
如此以来，我们就 O(nm) O ( n m ) 地解决了这个问题。
单调栈 O(nm) O ( n m )
将每个点尽可能向上、向左、向右扩展到的长度存在数组 u[][],l[][],r[][] u [ ] [ ] , l [ ] [ ] , r [ ] [ ] 中。具体做法如下：
For i = 1 to n 枚举矩形底边，对每一次枚举维护一个单增栈，存储的数据包括高度与宽度，For j = 1 to m，如果当前点高度大于栈顶元素高度，就直接入栈；否则，不断弹出栈顶元素，最后将所有弹出元素的宽度之和加上自身宽度作为新的宽度入栈。这样，我们就得到了一个点向左能扩展的最大长度（手动模拟一下就清楚了）。同理，For j = m to 1 就可以求出一个点向右扩展的最大长度。（当然，不用反过来for也能求出来，但是反过来for一遍挺方便的，何乐而不为？）
单调栈做法的思想其实和悬线法本质上是一样的，只不过省去了递推那一步。
注意：有些题并不是两种方法都可以的
O(S2) O ( S 2 ) 算法
以奶牛浴场为经典的一类题，详见论文以及洛谷题解。
例题
hdu1506 / poj2559
底边已经定了，直接考察单调栈
{% fold 展开代码 %}
#include{% endfold %}
hdu2830
枚举底边，按高度排个序，就变成了上一题。
有趣的是，由于排了序，我们不用写单调栈，运用它的思想即可。
{% fold 展开代码 %}
#include{% endfold %}
hdu1505 / poj1964
悬线法
{% fold 展开代码 %}
#include{% endfold %}
poj3494
悬线法
{% fold 展开代码 %}
#include{% endfold %}
hdu2870
最大子矩形一定要么全是 a a ，要么全是 b b ，要么全是 c c 。
假设最大子矩形全是 a a ，那么把所有能变成 a a 的全变成 a a 一定比不变某些字母更好，以此求一次答案；同理，再全变成 b b 求一次答案，再全变成 c c 求一次答案。
{% fold 展开代码 %}
#include{% endfold %}
[ZJOI2007]棋盘制作
悬线法
{% fold 展开代码 %}
#include{% endfold %}
奶牛浴场
洛谷上的题解 很详尽
{% fold 展开代码 %}
#include{% endfold %}