算数基本定理

算数基本定理

算数基本定理：任何一个≥2的自然数 N都可以唯一分解成有限个素数（质数）的幂的乘积。
N = P1^a1 * P2^a2 * P3^a3 * ……* Pr^ar
这里P1 < P2 < P3 .. … < Pr 均为素数，其中指数ai是正整数。

在继续说明算数基本定理之前，我们需要先了解另外的一个引理和一个定理。

引理

若P为素数，假设P能整除ab，则P能整除a或整除b（或者P能整除a也能整除b）。

前提：

P为素数，P能整除ab

证明：

（1）如果P能整除a，满足引理。
（2）如果P不能整除a。
因为P为素数，因此P的因数只有1和其本身P。
因为P不能整除a。
所以gdc（P，a）=1。 （P和a的最大公约数）
所以Px+ay=1，将等式两边同时乘以b得到：Pbx+aby=b。
因为P可以整除Pb，P可以整除ab。
所以P可以整除b。满足引理。

定理

假设素数P能够整除乘积a1 * a2 * a3 * …… * ar，则P可以整除a1,a2,a3……ar中的任意一个因数。

前提：

P为素数，P能够整除乘积a1 * a2 * a3……*ar。

证明：

（1）如果P可以整除a1，满足上述定理。
（2）如果P不可以整除a1。
因为P为素数，因此P的因数只有1和其本身P。
因为P不能整除a1。
所以gdc（P，a1）=1。 （P和a的最大公约数）
所以Px+a1y=1，将等式两边同时乘以a2 * a3 * … *ar，得到：
P * a2 * a3 * … * ar * x + a1 * a2 * a3 * … * ar * y = a2 * a3 * … * ar
因为P能够整除P * a2 * a3 * … * ar，P能够整除a1*a2*a3*…*ar。
所以P能够整除a2 * a3 * … * ar，满足上述定理。

算数基本定理

算数基本定理包括两点最基本的内容：
（1）数n可以以某种方式分解为素数的乘积。
（2）只有唯一一种这样的因式分解。（除因数重排外）

证明（1）：

因为n≥2。
①
n=2时，n=2;
n=3时，n=3;
n=4时，n=2*2;
②
假设n=N时满足n可以以某种方式分解为素数的乘积。证N+1:
1) 如果N+1为素数：N+1=N+1;
2) 如果N+1为合数：N+1=n1*n2;
因为n1，n2必须满足： 2 ≤ n1，n2 ≤ N；
所以n1，n2满足可以以某种方式分解为素数的乘积。
所以N+1一定满足可以以某种方式分解为素数的乘积。

所以数n可以以某种方式分解为素数的乘积

证明（2）：

假设 n = p1 * p2 * … * pr = q1*q2 * … * qs （r，s不一定相等）
因为p1可以整除n。
所以p1可以整除 q1*q2 * … * qs。
所以p1一定可以整除q1*q2 * … * qs中的一个qi （通过引理可知）
将q1，q2，…，qs重排，将qi放在第一位，即成为q1。
因为p1，q1都是素数，并且p1可以整除q1。
所以p1=q1。（因为素数的因数只有1和本身）

n1 = p2 * p3 * … * pr = q2 * q3 * … * qs （将p1，q1从等式中消去。n1 = n / p1）
因为p2可以整除n0。
所以p2可以整除q2 * q3 * … * qs 。
所以p2一定可以整除q2 * q3 * … * qs中的一个qi （通过引理可知）
将q2，q3，…，qs重排，将qi放在前面，即成为q2。
因为p2，q2都是素数，并且p2可以整除q2。
所以p2=q2。（因为素数的因数只有1和本身）

n2 = p3 * … * pr = q3 * … * qs （将p1，q1从等式中消去。n2 = n1 / p2）
继续重复上面的过程。将p全部消除后可得：
n/（p1*p2*p3*…*pr）=1=1=1 （p，q都全部消掉）
所以r=s；能找到任何一个pi等于qi。

所以因数分解是唯一存在的