贝叶斯优化 Bayesian Optimization

贝叶斯优化算法（BOA）

背景介绍

当前的场景中，会面临很多设计选择问题。比如说在工程师进行方案设计的时候，需要考虑多种细节选择，才能做出一个稳定可靠的方案。糕点师傅在做蛋糕时，会决定各种配料应该使用多少才能做出好吃的蛋糕……在如此多的需要设计选择的场景中，往往需要从多个维度，多个方面去考虑。有时候需要面对很多种选择。对于资深有经验的人，可以从多种选择中快速选择出能够满足要求的方案，比如专业的糕点师很快能知道，要做出一款美味的蛋糕，需要使用几勺糖，多少毫升牛奶，多少克面粉……而对于我这种小白，我可能需要不断去尝试，首先根据自己的尝试任意进行配比，然后做出蛋糕之后品尝一下，看看是否好吃。如果觉得不好吃，还需要重新再组合一个方案，然后再把蛋糕做出来试吃。经过多次迭代后，在浪费了大量的时间和食材（简直惨绝人寰）之后，终于做出了好吃的蛋糕。

然而在很多其他场景中，进行一次方案可行性测试的成本可能非常高。比如说我们不是做蛋糕，是对机器学习模型的参数进行调试，模型的效果怎么样需要运行实际的任务才能知道。但是运行一个要两周才能运行出结果的任务（这种需要较长时间运行的任务是存在的），那么明显按照我做蛋糕那种方法去运行任务，那在得出较好的参数方案的时候需要无法忍受的时间，因此显然是不可取的。另一方面，刚才我们做蛋糕，可能只需要对面粉量、牛奶量、糖量等几个维度进行选择。但是有的场景下，需要对上百个维度进行选择，同时各个维度可选的候选空间也非常大。此外，各个维度属性可能有内部的相互影响。那么靠人工的方法，几乎很难找到最优的维度组合方案。因此在这种情形下，贝叶斯优化算法（BOA）就可以派上用场了。当前BOA运用很广泛，包括用于组合优化、自动机器学习、增强学习、气象、机器人等等

贝叶斯优化流程

形式化

首先为了便于讨论问题，我们形式化一下。贝叶斯优化算法（BOA）主要面向的问题场景是：

X∗=argx∈S max f(x)(1)

公式（1）中，S是x的候选集。目标是从S中选择一个x，使得 f(x) 的值最小或者最大。可能 f(x) 的具体公式形态无法得知，但是假如选择一个 x ，可以通过实验或者观察得出 f(x) 的值。 f(x) 是一个黑盒的函数。对应到背景中我们做蛋糕的例子，就是 S 是各个原料的组合候选集， x 就是其中的具体某一种方案（如白糖15g，牛奶13ml……）。而 f(x) 的结果就是蛋糕的味道。选择了一个原料组合方案 x ，那么可以通过实验的方法获得在该方案下蛋糕的口感 f(x) 。

算法流程

那么，现在我们的目标就是从 S 中，找到一个 x 使得 f(x) 最大（最小）。其基本的思想是首选对 f(x) 有一个猜想的先验分布模型，然后利用后续新获取到的信息，来不断优化那个猜想模型，使模型越来越接近真实的分布。

Created with Raphaël 2.1.0 开始 （1）猜想的分布模型M （2）根据模型M选择一个新的X （3）获得X对应的F(X) （4）（X,F(X)）是否满足需求？ 结束 （5）利用(X,F(X))修正模型M yes no

上面这个图是个大致的简图。先不用太深入，我们先简单看看流程。
Step(1)
第一步首先是有一个先验的猜想。既然我们是需要求出满足条件的 x ，那么如果我们知道了 f(x) 的函数曲线图，是不是就可以直接算出 x 了呢？但是我们不知道 f(x) 长什么样，函数有什么分布特点。所以我们只能先猜一下。一般我们常见的假设是 f(x) 函数满足高斯分布（GP），就是正态分布，通俗地讲就是假如两个点 x1,x2 比较接近，那么对应的 y1,y2 也是比较接近。高斯分布回归.当然除了GP也还有其他分布，对于不同问题需要选用不同的分布假设。假如这里我们选用了高斯分布，现在我如果有两组（任意组）数据 ［x0,f(x)0］, ［x1,f(x)1］ ，将这两组数据输入GP模型中，两个真实值加入猜想模型，能够对模型进行修正，使其更接近目标函数真实的分布**。

Step(2)
第一步有了修正后的GP。我们根据某些方法，来从修正后的GP中，选择一个感兴趣的点 xi 。选择的标准是，相对于候选集中的其他点，假如给GP输入 [xi,f(xi)] ，会使得GP更快更准确地向目标函数的真实分布接近，也就是GP的收益最大。或者这个点相对于目标函数中的其他点，他的 f(xi) 更优。

Step(3)
选出了一个新的 xi 之后，利用实验或者观察或者什么方式，获取到 f(xi) 之后，判断选出的这个点是否是我们想找到的点。这个点可能是一个最优解，也可能是个较优解。假如符合我们的目标需求，比如选出的这个蛋糕配置方案做出来的蛋糕已经是还算好吃的了，那么就可以终止算法推出，得出我们想要的 x 。

Step(4)
反之，假如上一步找出的点还达不到我们的需求，那这个点也不能浪费，将其输入返回到GP模型，再次对其修正，重新开始Step(2)

经过上面的初步分析后，我们大概了解了贝叶斯优化的整个流程。从上面描述的流程可以看出，贝叶斯优化最核心的步骤是Step(1)，Step(2)。在Step(1)中我们猜想的分布模型，以及Step(2)中支持我们做出选择新的点的方法，这里我们定义一下一般这个方法叫Acquisition function（后面简称AC函数）。这个收益（损失）函数指导我们选择下一个点。只要把这两个东西确定了，那么整个算法就确定了。从这里也可以看出BOA是一个迭代运行的算法框架，由两个组件组成，一个是先验模型，一个是AC函数。这两者的作用分别如下：

• 先验模型（prior function）基于概率分布，用于描述目标函数的分布（可以理解为用于拟合目标函数曲线）
• AC函数用于从候选集中选择一个新的点。BOA的运行效果，和AC函数的设计有很大关系。由于此类函数可能陷入局部最优解，因此在选点的时候，需要考虑到很多方面因素，不能过早进入局部。因此需要进行多方面权衡，然后综合之后选点。选出的点的质量直接影响算法的收敛速度以及最终解的质量。
  这里再给一个更加具体的流程图。这图和开始的简图差不多，我也就不多解释了，应该大致能看懂。
  

核心算法

上面说了BOA最核心的两个组件Prior Function以及Acquisition Function(AC)。

Prior Function

上面说到，当我们不知道目标函数曲线是什么样的时候，我们就只能猜（概率）。主要的方式有含参、不含参、线性、非线形等。比如有高斯过程（GP），认为目标函数满足多变量高斯分布。当然也有存在其他的函数，在选择PF的时候，需要谨慎选择模型，不同的模型效果是不一样的。

Acquisition Function

在经历过PF的选择后，那么就要对PF模型进行进一步修正。让他修正的方法很简单，就是给他尽量滴提供更多的真实样本点 [xi,f(xi)] 呗。那么应该提供什么样本点呢？假如我们把所有候选集中的样本点都提供给模型，那么目标函数曲线其实就出来了。但是很明显，根据BOA的使用场景，我们无法将所有的样本点都提供出来，因为产生一个真实样本点的成本很高。那么我们就应该选择那种能够提供更多信息给模型的点。就像我们打游戏，假如我们血有限的话，那么就尽量去打得分多的怪。那么AC函数（Acquisition Function）就指导我们如何选点。那么AC函数也分很多种类。

1. Improvement-based policies
   这种方法的基本思想是选择收益最高的点。包括如PI、EI等方式

   1. Optimistic policies
      这种方法主要采用上限置信区间（upper confidence bound）。常用的如GP-UCB等方法
   2. Information-based policies
      此类方式思想是利用后验信息来进行选点。常用有Thompson sampling 和 entropy search。基于熵的方法感觉发展空间还比较大，有一些相关工作都有用到这个
   3. Portfolios of acquisition functions
      这类方法就是将多种AC方法进行集成，最近的工作比如有ESP

   参考文献

[1] Taking the Human Out of the Loop: A Review of Bayesian Optimization

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算法部分讲的很简单，后面再进行补充。文中有理解不正确的地方，欢迎各位大佬拍砖