计算的极限——关于Diophantine以及黎曼猜想

这些天一直在思考一个问题：计算机的极限在哪里？什么叫计算，并不是所有问题都是可计算的。所谓计算，其实是利用问题中已有的数学结构进行推理。所以计算的前提是存在对应的数学结构。这些数学结构就如同海上的航标一样将结果导向一个个固定的岛屿，或者岛屿附近。所以，通常可计算的问题都具有一种连续性，这就是数理因果性，使得给出输入总能导到指定的结果。

那么，试想如果将这种数理因果性破坏掉会怎么样？即使不破坏掉全部的树立因果性，仅仅破坏一部分，都会使得问题陡然变得十分复杂。失去了这种逻辑上的连续性给出的线索，唯一能保证正确的方法就是枚举了。这就如同求解Diophantine方程一样，简单的说，假如一个人不知道Euler公式，那么在计算沟谷数的时候，他只能一个个的试。因为直接的几何上的连续性已经不存在了，所以通过圆的几何性质来推测解所在的位置的数理因果性丧失了。事实上任何这样的企图都被证明是不保证正确的，唯一的能保证正确的就是一个个点去搜索，沿着曲线经过的轨迹。所以，求解这个问题需要的是人类的智慧，人类的数学洞察力。抛弃几何线索，转而在数字空间中寻找规律和线索，重新构建出数理因果性。

然而，目前人类的智慧也是有极限的，并不是所有人都是Euler，这种数学洞察十分微妙。其起源亦十分神秘，这是人工智能所永远无法企及的领域，其本质甚至超出现今物理学的理解 （罗杰 彭罗斯 曾经在其著作“The Shadow of Mind” 中给出了人工智能无法超越人类的数学证明。人类的思维可能确实存在非计算的物理过程作为辅助。或者Turing对计算的理解不完整，我们需要重新定义可计算性。然而，如果这一尝试是超越目前逻辑认知理解的，我们又该如何是好？）。事实上，依然有一些问题，是我们所无法洞察到的，比如说黎曼猜想。几百年以来，人类一直试图构建出足够的数理因果性，这种尝试今天依然在继续。然而，抛弃这些数理因果性，从计算的角度来说，我们唯一能做的也就是枚举了。然而枚举为了保证结果的绝对正确性，用运行时间作为了交换代价。

这就是不定性问题的起源。因为我们不知道一个枚举算法在宇宙的有生之年能否结束，我们只知道，如果答案正确它一定会结束。然而枚举这一过程不会提供给我们关于问题结束时间的任何线索。所以我们无法区分一个问题无解（永远枚举下去）还是在十分遥远的未来得到解（比如宇宙毁灭的前一秒）。而试图回答一个算法会不会在有限时间停止也是被禁止的，因为这个问题本身是不可解的停机问题。甚至如果有神存在能够告诉我们一个算法会不会停止，这个神自己也无法判断它的“思考”过程会不会停止。所以，实际上我们需要更上一级的神，而这些层叠的神是无限的。这些神和所有一切的算法，构成了一个神奇的数学结构——递归不可解度的上半格。