XUE_Haiyang
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中国剩余定理以及拉格朗日插值


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鉴于在博客中写公式略显难看，有碍观瞻，博客中的内容我都事先用latex写了一个pdf的文档，可以在下链接下载 

http://download.csdn.net/detail/xue_haiyang/7640513

下面所写的难免有各种错误，还请留言批评指正（欢迎任意的批评交流）

下步计划：1，RSA-OAEP 2，素数检测

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《孙子算经》中，记载这样一个问题： “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，
七七数之剩二，问物几何。”用现在的话来说就是：“有一批物品，3个3个地数余2个，5个5个地数余3个，7个7个地数余2个，问这批物品最少有多少个?” 这是数论上的一个一元线性同余方程组问题，而中国剩余定理正是为了解决这样的问题。我这里并不是试图给出中国剩余定理的严格证明，而是从一个比较好理解的角度来分析下中国剩余定理，


中国剩余定理


回忆上节的中国剩余定理是说


对于互素的数, 和 , 并且知道
, 如果记 , 则
 


为了好理解，我先分析三个方程的问题，也就是给定

求? 我们看看 是不是

?

如果记

并且,,,

则有下面



其中每一列代表模第一个元素的值. 可见对于,
是




为了进一步看清楚中国剩余定理，或者更傻的直观看中国剩余定理
我们看下下面的问题

如果记 

并且,,,

则有下面
中国剩余定理以及拉格朗日插值_第1张图片

则,





图形展示

下面看看图形吧
对于问题
,
可以下面的图形蓝色线是模5为2的，红色线是模3为1的，那么蓝红重合的一点正是要求的7.


中国剩余定理以及拉格朗日插值_第2张图片
三个才过瘾，看看三个的图形
,
可以下面的图形蓝色线是模5为2的，红色线是模3为1的，三角折线和坐标的交点是模2为0的，那么蓝红和交点的重合的一点正是要求的22.
中国剩余定理以及拉格朗日插值_第3张图片


能不能从坐标的角度看这个问题的
,
可以下面的图形蓝色线是模5为2的，红色线是模3为1的，中间的线是$x=y$这条线，那么蓝红重合的一点正是要求的7.
中国剩余定理以及拉格朗日插值_第4张图片
下面的问题呢？
,
可以下面的图形蓝色线是模5为2的，红色线是模3为1的，中间的这条线是模15意义下的$y=2x$, 那么蓝红重合的一点正是要求的7.
中国剩余定理以及拉格朗日插值_第5张图片

站高点看

好了，下面从高一点的高度看中国剩余问题
实际上这是在考虑整数环的同构定理






插值公式

下面看看传说中的拉格朗日差值公式。实际上这个同中国剩余定理一样是一个交换环上的同构定理，

只不过这个是在多项式环上而已.


我们考虑一个二次多项式, 给定三对点 求多项式的问题。

令, ,,


,

,

,










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