算法概论 | NP完全问题

8.3

Problem
STINGY SAT：给定一组子句和整数k，求最多有k个变量为true的满足赋值(如果存在)。
Solution
首先，给定一个解S，可以直接带入STINGY SAT检验其是否满足，复杂度为多项式时间，所以是NP的。
然后，STINGY SAT问题与SAT相比，增加了约束最多k个变量为true，所以可以将SAT归约到STINGY SAT。假设SAT有n个变量，即令k=n，这一过程是多项式(常数)时间的，而且很容易可以看出当STINGY SAT可满足时SAT也有可满足的解，反之亦然。

8.10

Problem a
子图同构：给定两个无向图G和H，判断G是否为H的一个子图，如果是则返回V(G)到V(H)的相关映射。
Solution
给定一组映射，我们可以判断出G是否是H的一个子图，所以问题是NP的。
判断是否为子图主要看点和边，所以可以将Rudrata回路归约到子图同构来证明它是NPC。设有图H和环G，H和G顶点数相等，该问题到子图同构只需要多项式的时间完成。如果G是H的子图，那么H一定存在Rudrata回路，并按照以某个起点开始的映射返回即可。如果G不是H的子图，则H一定不存在Rudrata回路，假设其存在，则可以推出G是H的子图，得到矛盾。

Problem b
最长路径：给定图G和整数g，求G中一条长为g的简单路径。
Solution
设图中顶点数为V，令g = |V| - 1，转化为Rudrata回路问题，所以最长路径是Rudrata回路的推广，也是NPC。

Problem c
最大SAT：给定一个CNF公式和整数g，求满足其中至少g个子句的真赋值。
Solution
设CNF中共有n个子句，添加约束g = n，就转化为SAT问题，所以最大SAT是SAT的推广，也是NPC。

Problem d
稠密子图：给定一个图和两个整数a和b，求G中的a个顶点，使得它们之间最少有b条边。
Solution
SAT问题边和点的数目没有明显约束，所以考虑最大团问题。令b=(a-1)a/2，即每两个点之间都有一条边，就转化为了求最大团问题，所以稠密子图是NPC。

Problem e
稀疏子图： 给定一个图和两个整数a和b，求G中的a个顶点，使得它们之间最多有b条边。
Solution
与d不同的是，我们要找到一个边数有上界的NPC问题，并且是稀疏子图的特例。令b=0，则转换为求图G的独立集，所以也是NPC的。

Problem f
集合覆盖：经典SCP描述包含一个集合U以及U内元素构成的若干各小类集合S，目标是找到S 的一个子集，该子集满足所含元素包含了所有的元素且使小类集合个数最少。
Solution
从定义上来看，集合覆盖和最小顶点覆盖十分相似。设有一个图G，其边数和集合U中的元素数目相等，令小类集合Si的元素为顶点i相邻的边，S集合为图G中的边集，则集合覆盖就转化为了最小顶点覆盖，所以是NPC问题。

Problem g
可靠网络：给定两个n*n矩阵，一个距离矩阵dij，一个连接需求矩阵rij以及预算b.要求一个图G=({1,2,…,n}，E)使得：(1) 其中所有边的总代价不超过b；(2) 在任意两个不同顶点i和j之间，存在rij条顶点互不相交的路径。
Solution
根据提示可以想到8.3节中的TSP问题，α取值为1。dij为1时代表两个城市之间有边，为2时没有边。预算b即为城市的数目，而第二个条件说明任意两点都在一个圈上，这样就转化为了求解TSP问题，作为其推广，可靠网络也是NPC问题。