DL笔记：深入理解softmax交叉熵损失函数反向传播求导过程分析

目录

一、softmax 函数

二、损失函数 loss function

三、最后的准备工作                                                                                                       ​                                 

四、具体的推导过程

---

softmax经常被添加在分类任务的神经网络中的输出层，神经网络的反向传播中关键的步骤就是求导，从这个过程也可以更深刻地理解反向传播的过程，还可以对梯度传播的问题有更多的思考。

一、softmax 函数

softmax函数，一般在神经网络中， softmax可以作为分类任务的输出层。其实可以认为softmax输出的是几个类别选择的概率，比如我有一个分类任务，要分为三个类，softmax函数可以根据它们相对的大小，输出三个类别选取的概率，并且概率和为1。

softmax函数的公式是这种形式：

                                                                                 

​代表的是第i个神经元的输出。ok，其实就是在输出后面套一个这个函数，在推导之前，我们统一一下网络中的各个表示符号，避免后面突然出现一个什么符号懵逼推导不下去了。

首先是神经元的输出，一个神经元如下图：                                                         

 神经元的输出设为：

                                                                                  

其中  是第  个神经元的第  个权重， 是偏移值，   表示该网络的第  个神经元的输出。给这个输出加上一个softmax函数，那就变成了这样： 

                                                                                  

 ​代表softmax的第  个输出值，就是套用了softmax函数。

二、损失函数 loss function

在神经网络反向传播中，要求一个损失函数，这个损失函数其实表示的是真实值与网络的估计值的误差，知道误差了，才能知道怎样去修改网络中的权重。

损失函数可以有很多形式，这里用的是交叉熵函数，原因如下2个：

1. 主要是由于这个求导结果比较简单，易于计算，
2. 交叉熵解决某些损失函数学习缓慢的问题。

交叉熵的函数是这样的：

                                                                                 

                                                     注意：其中的一项为 （一个节点的）  

其中  表示真实的分类结果。到这里可能嵌套了好几层，不过不要担心，下面会一步步推导，强烈推荐在纸上写一写，有时候光看看着看着就迷糊了，自己边看边推导更有利于理解。

三、最后的准备工作                                                                                                       

四、具体的推导过程

为了容易理解假如是这样的模型

好了，这下正式开始，首先，我们要明确一下我们要求什么，我们要求的是我们的  对于神经元输出  的梯度，即：
                                                                                             

根据复合函数求导法则：

              ：【注意：其中求和表示总的损失函数,j=1,2,3表示损失函数的和，看上图可以理解，

eg：若此时Zi为Z1,总的损失为C1+C2】

由于有些朋友对于之前的写法有些疑惑，所以我这里修改了一下，这里为什么是  而不是  这里要看一下softmax的公式了，因为softmax公式的特性，它的分母包含了所有神经元的输出，所以，对于不等于  的其他输出里面，也包含着   所有的都要纳入到计算范围中，并且后面的计算可以看到需要分为 两种情况求导。
下面我们一个一个推：

                                                                           

 

第二个稍微复杂一点，我们先把它分为两种情况：

①如果  【可以理解上图中的，此时为交叉损失函数C1,下面就是a1对Z1求偏导】：

                   

②如果 【可以理解上此时为交叉损失函数C2,下面就是a2对Z1求偏导，注：这主要是因为softmax分母中有z1和z2】：

                                         

接下来我们只需要把上面的组合起来：

                                       

                                                

                                               

                                               

                                               【注意这里的下标】

 最后的结果看起来简单了很多，最后，针对分类问题，我们给定的结果  最终只会有一个类别是1，其他类别都是0，因此，对于分类问题，这个梯度等于：
                                                              

参考了作者：https://blog.csdn.net/qian99/article/details/78046329